近期各新闻APP都被即将上映的《阿凡达2》刷屏了，还记得13年前《阿凡达》上映时席卷全球的狂热，逼真的人物建模和潘多拉星球，至今看起来仍然与现实无异。

全球观众无不被电影唯美的画面所吸引，但是你知道这一帧一帧科幻的电影画面是如何制作完成的么？

计算机经过长时间计算渲染来的，而计算和渲染靠的就是——微积分。

公元前3世纪，阿基米德就已经通过他天才般的头脑告诉我们，任何平滑表面（曲面）都可以令人信服地用三角形（多边形）来逼近。我们使用的三角形（多边形）越小和越多，逼近效果就越好，曲面也就越光滑逼真。

而在2009年《阿凡达》上映时，为了让画面更加逼真，它使用的多边形层级甚至多到了“奢侈”的程度。在导演詹姆斯·卡梅隆的坚持下，对于虚构的潘多拉星球上的每一株植物，动画师都使用了大约100万个多边形，这才得以让每一帧画面逼真且又无迹可寻。难怪《阿凡达》的制作成本高达3亿美元，毕竟它可是第一部使用了数十亿个多边形的电影。

小编今天并不想像讲解教科书一样，一步步地给朋友们科普微积分，毕竟那时老师干的事情，而且真心想学习微积分的你就应该通过教科书式的学习才有可能真正的掌握它。

对我们普通人而言，10进制的加减乘除就已经能涵盖几乎所有的日常需求。什么斜率、导数和微分方程和计算规则，除非你是专业人士，否则你一辈子都不一定能用得上。抛开这些专业术语，今天我们来简单聊聊课堂上老师不会教你的东西，微积分是什么？它的历史？它带给人类的力量。

微积分是什么？

微积分就是想要让复杂的问题简单化，它十分痴迷于简单性。你可能会不理解，因为想想令人头疼的微积分公式就能让你头大，它看起来是那么复杂。不要着急，跟着小编一起往下走。

微积分可以分为两个步骤：切分和重组。

切分总是涉及无穷多个且无穷精细的减法运算，这部分叫微分学；重组总是涉及无穷多个的加法运算，将各个切分后的部分整合成原来的整体，这部分叫积分学。任何复杂的我们能够想象的做无尽切分的所有连续事务（面积、体积、速度...）都可以用这种策略去解决，让它不再像原始问题那么难解决，这也是微积分的核心概念。

不要纯粹地将微积分看作复杂难学的数学学科，要视其为一种思想，一种解决复杂客观问题的“无穷原则”，看似复杂的问题在无穷远处，一切也都变得更简单了。

对微积分有了大致概念后，让我们来看看它是为解决什么问题而诞生的？

微积分的三大核心问题：

正向问题：已知一条平面曲线，求它各处的斜率（切线坡度）。反向问题：已知一条平面曲线各处的斜率，求这条曲线。面积问题：已知一条平面曲线，求曲线下方的面积。

微积分正是在对以上三个问题的求解中诞生的，而且微积分的发展和应用也都紧紧围绕着这三大核心问题。

是不是看着挺简单？所有学过微积分的都不会觉得求解这三个问题有什么难度。

但是对于微积分的起源和发展，却鲜有人知道。微积分最初是几何学的产物，历经整整2500年的叙事历史中，一代代人类的天子骄子对曲线之谜、运动之谜和变化之谜这三座“珠穆朗玛峰”的数学探索，才一步步的促进了它的发展。最终，17世纪下半叶，站在巨人肩膀上的牛顿和莱布尼茨，他们把关于运动和曲线的思想松散地拼凑在一起，创立了微积分。

曲线之谜

一切之始，任何形式的曲线都难以捉摸，曲线不像直线便于分析，它任意两点的方向都不相同，分析过程让早期的几何学家不得其解。

就拿我们现在熟知的圆周长和面积求解公式来说，我们永远不可能像知道多边形的面积和周长一样，百分百精确地知道圆的面积和周长，毕竟π本身就是一个无理数，哪怕现在我们已经将π计算到了62.8万亿位，曲线分析的难度可见一斑。

直到公元前250年左右的古希腊，在掀起了一小股解决曲线之谜的数学热潮后，几何学家们发现天赐之物：无穷法则，利用无穷在曲线形状和直线形状之间搭建一座桥梁，而利用无穷解决复杂的几何学问题是自古以来最棒方式。

想象一个圆是由无穷多个长度为半径r，宽度为无穷小的长方形组成，依照这种无穷原则的思路，把圆摊开就能得到一个宽度为r，长度为圆周长一半的长方形，真是不可思议，圆的面积求解突然变得再简单不过。

圆的周长也是一样，假设我们在一个圆上画一定数量的点，并使其均匀分布，然后用直线将它们相互连接起来就能得到圆内正多边形，只要我们画的点越多，得到的多边形就越极限的接近圆，圆的周长也就是正多边形边长的和。

朋友们可能会有疑惑，不管无穷切割组成的长方形还是无穷多条边组成的正多边形，它毕竟不是圆真正的形态，两者之间永远不可能是等号（=），这种不是百分百精确的计算真的没问题么？

极限或者说无穷虽然是一个永远不可抵达的终点，但是幸运的是，作为微积分的核心概念和基石，极限的不可达性往往无关紧要。

公元前4世纪古希腊哲学家亚里士多德就禁止在数学和哲学上使用“实无穷”，因为这会招致各种逻辑悖论，他认为只有“潜无穷”才有意义。在接下来的2200多年里，他的这条法令得到了数学家的支持。举个简单的例子，长度为1m、20m、100m的线段在实无穷下，是由无穷多个长度为0的点组成的，那么0乘以无穷是不是就可得到任意的结果：1、20、100...，而这对于数学来说简直是灾难，实无穷也是禁忌般的存在。就像我们上学期间，老师千叮咛万嘱咐过我们的：永远不要将0当作除数。

无穷法则下，阿基米德论证了圆周率和抛物线面积求解，发展出了早期阿基米德式积分学。

运动之谜

公元前212年阿基米德去世后，关于自然的数学研究也几乎随之消逝，直到1800年后一个新的“阿基米德”才登上历史舞台，终于重新接续上了早期微积分相关的研究，重拾阿基米德的未竟之业，这人就是欧洲文艺复兴时期的伽利略和开普勒。

17世纪以前，人们对运动和变化知之甚少，阿基米德对曲线的研究也是在静态的背景下。因为它们不仅研究难度很大，而且极其不受欢迎。柏拉图都曾教导学生说，几何学的目标是了解“永恒存在的事物，而不是转瞬即逝的东西”。

伽利略、开普勒和17世纪早期的其他志趣相投的数学家面临的挑战是，他们深爱且非常适合静态世界的几何学，延展到不断变化的自然世界中去。在他们之前，人们很少从数学的角度去理解运动和变化的自然现象。

伽利略观察了物体在空中飞行或者落到地上的运动过程，并从中寻找数字规律。他进行了细致的实验，并且做出了巧妙的分析。他测量了钟摆来回摆动的时间，又让球滚下平缓的斜坡，由此发现两者有着惊人的规律性。

与此同时，年轻的德国数学家约翰尼斯·开普勒研究了行星是如何在天空中运行的。为了解释行星的运动，开普勒尝试了一个又一个理论，而关于行星的精确观测数据都来源于第谷（世界上最优秀的观测天文学家之一，他数据的准确度是之前所有数据的10倍）。

有了如此珍贵的数据，开普勒尝试了上百次行星轨道理论计算，比如，行星沿本轮运动，行星沿各种卵形轨道运动，以及行星沿太阳略微偏离中心的偏心圆轨道运行等。最终，开普勒尝试了一种著名的曲线～椭圆。行星在椭圆形轨道上运行是开普勒的第一个伟大发现，并最终发现了太阳系行星的三大定律。

所有行星都在椭圆轨道上运行；当行星沿轨道运行时，从这颗行星到太阳的假想连线在相等的时间内扫过的面积相等。一颗行星距离太阳越远，它的运行速度就越慢，公转一周所需的时间也越长。

他们俩都被各自数据中的模式深深吸引，并意识到存在某种更深层次的东西。尽管他们知道自己发现了某种东西，但却无法完全理解它的意思。运动定律是用一种陌生的语言写就的，当时人们并不知道那种语言就是微分学。这是人类第一次发现它的踪迹。

变化之谜

就像所有的伟大发现一样，开普勒的行星运动定律和伽利略的落体定律引发的问题比他们回答的要多得多。此时的他们已经感受到，地球和遥远的太空中有人类看不见的未知力量在发挥着作用。

1630年前后，费马和笛卡尔之前，代数（方程）和几何学并无交集，正是因为他们将代数与几何学联系在了一起，开创一个新的数学学科----解析几何，曲线和运动自此成了不可分割的整体。

代数给了几何学一个体系，此时几何学需要的就不再是创造力，而是韧性了。它会把需要洞察力的难题转化为虽然耗时费力但却简单直接的计算，符号的使用解放了头脑，也节省了时间和精力。

对几何学来说，它赋予代数以意义。此时方程不再枯燥乏味，而是化身为弯曲有致的几何形状。当从几何学的角度去看方程时，一个曲线和曲面的全新“大陆”就会呈现在我们眼前。

解析几何最重要的就是让方程变成生动和具体的xy平面，以x和y为横纵坐标，能在xy的二维平面上画出随变量连续变化的x和y方程曲线。我们现在已经习惯用xy平面来描绘变量之间的关系，比如运动的时间和速度、时间和距离等，但是如果没有费马和笛卡尔，这一切都不知何时才能被拥有。

费马和笛卡尔的时代，解析几何的诞生，让xy平面方程曲线的最大值、最小值和切线等已经不是问题，但是任意曲线所围区域的面积仍然是一个困扰了科学家达2000年之久未知数。

阿基米德在圆的面积和抛物线求积方面取得的成果，以及费马计算曲线y=xn下方面积的方法。但因为缺少一个系统，各个面积问题只能在特别的基础上解决，并且要具体问题具体分析，这意味着数学家每次都不得不从头开始。

曲面体体积问题和弧长问题也遇到了同样的困难。事实上，笛卡儿认为弧长超出了人类的理解范围。他在自己的几何著作中写道：“直线和曲线之间的比率是未知的，在我看来，它甚至是人类无法知道的。”所有这些问题——面积、弧长和体积——都需要对无穷多个无穷小的部分进行求和运算，换成现代的说法就是它们都涉及积分。当时没有人能找到一个适用于所有问题的万能系统。

费马在解析几何与切线方面的研究，开辟的是一条通往微分学的道路，其他人将沿着这条路继续前进。

完整微积分的诞生

最终，17世纪下半叶，站在巨人肩膀上的牛顿和莱布尼茨，他们把关于运动和曲线的思想松散地拼凑在一起，创立了微积分。

1671年，牛顿统一、综合和归纳了伟大前辈的思想：他继承了阿基米德的无穷原则，他的切线知识来自费马，他使用的小数和变量分别来自印度数学和 *** 代数，他用方程表示xy平面上曲线的做法来自笛卡儿的著作，他对无穷的随心所欲的玩法、他的实验精神及他对猜想和归纳的开放性态度都来自沃利斯。

通过整合这些思想，牛顿已经把微积分的各个部分统一成一个无缝整体。他建立了幂级数法，他利用关于运动的思想极大地改进了既有的切线理论，他发现和证明了解决面积问题的基本定理，他编制了曲线及其面积函数的表格，并将所有这些成果“焊接”成一台精细调谐的系统性计算机器。人类史上最重要的方程，牛顿运动定律的方程就是基于此诞生的。

1672-1676年，莱布尼茨创立了他自己的微积分。和牛顿一样，他发现和证明了基本定理，认识到它的重要性，并围绕它建立了一个算法体系。莱布尼茨写道，在基本定理的帮助下，他能够在“眨眼之间”推导出当时已知的关于求积法和切线的几乎所有定理。

在牛顿和莱布尼茨创立微积分之后，情况发生了变化。他们各自发现并证明了一个基本定理，它能使这类问题常规化。该定理将面积与斜率联系起来，进而将积分与导数联系在一起，这着实令人惊讶。就像狄更斯小说中的情节转折一样，两个看似毫不相干的人物竟然是最亲近的家人，积分和导数之间也存在着“血缘关系”。

虽然莱布尼茨发现微积分的时间比牛顿晚了10年，但人们通常认为他是微积分的共同发明者，原因有以下几点。莱布尼茨率先以一种优美和易于理解的形式公布了微积分，并用一种精心设计的简洁符号来表达它，我们至今仍在使用这种符号。在发现微积分方面，莱布尼茨使用的方法比牛顿的方法更基本，在某种程度上也更直观。

自此，这门上帝的语言，帮助人类认知宇宙本源的力量终于冲开迷雾出现在人类的眼前。

微积分的力量

学习过微积分的人，关注更多的是习题册上的题和考试试卷上的微分方程的答案，很少有人知道这是一种改变世界的、认知宇宙本源的力量。

之所以敢这么说，是因为神秘且不可思议的事实是：宇宙是高度数学化的，神奇的遵循各种逻辑我们渺小的人类也能发现和理解的那种逻辑，宇宙的自然律最终总能用微积分的语言和微分方程的形式表达出来，原因尚无人知晓。正因对“万物皆数”的信念，吸引着人类去追求宇宙的奥秘。

微积分的可靠性不仅体现在它诞生的尺度（日常生活的尺度，比如陀螺和几碗汤）上，还体现在最微小的原子尺度和最宏大的宇宙尺度上。

从古老的土、空气、火和水元素到新近的电子、夸克、黑洞和超弦，宇宙中所有无生命的东西都遵从微分方程的规则。

微积分已经从代数和几何学扩展到物理学、天文学、生物学、医学、工程学、技术学，以及其他所有不断变化的领域。而且，微积分将时间数学化了。

举例来说，微分方程可以帮助我们预测流行病将如何传播，飓风将在哪里登陆，以及购买股票期权需要付多少钱。在人类努力探索的每个领域，微分方程已经成为描述我们周围和内部事物（从亚原子域到宇宙最远端）如何变化的通用框架了。

尽管我们的世界存在着种种不公、苦难和混乱，但微积分给了我们这样的希望：世界本质上可能是公平合理的，因为它遵循的是数学定律。有时我们可以通过科学找到这些定律，有时我们可以通过微积分理解它们，有时我们可以利用它们改善生活，匡扶社会，以及推动历史进程朝好的方向发展。

人类在不经意间发现了这种奇怪的语言（先是在几何学的隐秘角落里，后来是在宇宙密码中），然后学会熟练地运用它，并破译了它的习语和微妙之处，最终利用它的预测能力去重构世界。

但就像所有的伟大发现一样，谜团的解开往往留给了我们一个更大的谜：为什么宇宙是可理解的，以及为什么微积分会与其步调一致？

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