本
文
摘
要
一、极限思想
①时间与时刻
②平均速度与瞬时速度
可以设想，用由时刻t到t＋△t一小段时间内的平均速度来代替时刻t物体的速度，如果△t取得小一些，物体在△t这样一个较小的时间内，运动快慢的差异就不会太大。△t越小，运动快慢的差异就越小。当△t非常非常小时，运动快慢的差异可以忽略不计，此时，我们就把△x/△t叫作物体在时刻t的瞬时速度。与此相似，瞬时加速度a=△v/△t也是平均加速度在时间趋近零的极限.
历史上有“另类加速度”，定义为A=△v/△x，要描述某一点的瞬时加速度，那就是△x趋近零的极限.
类似地，在电磁感应中，一段时间内的感应电动势就是平均感应电动势，一个时刻的感应电动势就是瞬时感应电动势，瞬时感应电动势是平均感应电动势在时间趋近零的极限.
☞时间趋近零，时间变时刻，平均物理量变成瞬时物理量.
在实际测量中，因时间趋近零很难操作，会用较短时间来代替时间趋近零，比如测瞬时速度，时间越短，越接近瞬时值.
③曲线运动的速度方向
当 B 点越来越靠近 A 点时，质点的平均速度方向将越来越接近 A 点的切线方向。当 B 点与 A点的距离接近 0 时，质点在 A 点的速度方向沿过 A 点的切线方向。
④向心加速度的推导
⑤恒力做功与路径无关的推导
⑥面积的含义
用极限思想推导匀变速直线运动的位移.
a-t图面积
变力的冲量
变力的功
电容器放电电量
⑦伽利略理想斜面实验外推
二、极限计算
在高中物理中，常见极限类型是0/∞型，比如a=mg/(M+m)，[M>>m]；至于0/0型、∞/∞型、∞-∞型等这些未定式，高中物理不作要求。此外θ很小时，sinθ≈θ，通常认为相等。
三、极限应用
例题：在探究“牛顿第二定律”的实验中，装置如图所示，
M、m的加速度大小是相等的，设为a，a=mg/(M+m)，绳子拉力T=Mmg/(M+m)＜mg，若要绳子拉力接近mg，则M/(M+m)接近1，需要M/(M+m)趋近1，也就是M/m趋近零0，即M>>m.
这就是为什么用mg代替绳子拉力的前提条件是M>>m.
例题：阿特伍德机装置示意图
加速度a的极限值为多少？绳子拉力T的极限值为多少？
加速度a的极限值为g，绳子拉力T的极限值为2m₂g.
例题：m向右匀速运动，M的加速度如何变化？
设M的速度为v₂，加速度为a₂.
v₂=vcosθ
θ↙，v₂↗，M做加速运动，M的加速度向上，考虑极端，m运动到无穷远时，θ趋近零，cosθ趋近1，v₂趋近v，即v₂的极限是v，则a₂的极限是零，M的加速度a₂在减小，M做加速度减小的加速运动，匀速是极限.
例题：如图所示，闭合开关，调节各电阻箱，使电流计的读数为零。这时，下列说法正确的是（BD)
A.若R₁增大，则G中电流从a到b
B.若R₂增大，则G中电流从a到b
C.若R₃减小，则G中电流从a到b
D.若R₄减小，则G中电流从a到b
用极限法，假如R₁增加到无穷大，即电阻R₁断路，则此时电流从b到a流过电流计。
假如R₃减小至零，即电阻R₃短路，则此时电流从b到a流过电流计。
例题：电源的外特性曲线
从物理角度分析，U与I的图线不应全部是实线，而是有一部分虚线的，这是因为，当I＝0时，由于内阻r不是很大，I＝E/（r＋R）说明此式分母趋近于∞，即R→∞，电阻R为绝缘体了，电路就相当于断开了，此时，才有路端电压等于电源电动势。但在实际情况中我们分析的是闭合电路，不是断开的电路。
当U→0，说明E＝Ir，也就是R→0，电路中没有了电阻，相当于短路了，I＝E/r就是短路电流了，而在实际电路中我们是不允许电路短路的。因此，在实际闭合电路中U与I线不应该全部是实线的，而应是如图情况。
例题：万有引力公式和库伦力公式，是否当r→0时，力就变成无穷大呢？
显然不是的，因为这两个公式是有条件的，万有引力公式适用条件是质点或者质量分布均匀的球体，如果是质量分布均匀的球体，r不可能趋近零，如果是质点，r趋近零就不是质点了；库仑力公式适用条件是点电荷或者质电量分布均匀的球体，如果是电量分布均匀的球体，r不可能趋近零，如果是质点电荷，r趋近零就不是点电荷了。
例题：如图所示，细线的一端系一质量为m的小球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行。在斜面体以加速度a水平向右做匀加速直线运动的过程中，小球始终静止在斜面上，小球受到细线的拉力T和斜面的支持力为Fɴ分别为（重力加速度为g）（A）。
A:T=m(gsinθ+acosθ),Fɴ=m(gcosθ-asinθ)
B:T=m(gcosθ+asinθ),Fɴ=m(gsinθ-acosθ)
C:T=m(acosθ-gsinθ),
Fɴ=m(gcosθ+asinθ)
D:T=m(asinθ-gcosθ),
Fɴ=m(gsinθ+acosθ)
作为选择题，可用极限法，先假设斜面处于静止状态，即是a=0，通过受力分析可以快速判断出FN=mgcosθ、T=mgsinθ.再将a=0带入选项中，便可迅速知道只有选项A满足条件.然后假设θ=90°，将其带入选项也可迅速得到选项A为正确选项.
例题：有一些问题你可能不会求解，但是你仍有可能对这些问题的解是否合理进行分析和判断.例如从解的物理量单位，解随某些已知量变化的趋势，解在一种特殊条件下的结果等方面进行分析，并与预期结果，实验结论等进行比较，从而判断解的合理性或正确性.
举例如下：如图所示.
质量为M，倾角为θ的滑块A放于水平地面上，把质量为m的滑块B放在A的斜面上.忽略一切摩擦，有人求得B相对地面的加速度
式中g为重力加速度.
对于上述解，某同学首先分析了等号右侧量的单位，没发现问题.他进一步利用特殊条件对该解做了如下四项分析和判断，所得结论都是“解可能是对的”.但是，其中有一项是错误的.请你指出该项.（）A.当θ°＝0时，该解给出a＝0，这符合常识，说明该解可能是对的
B.当θ＝90°时，该解给出a＝g，这符合实验结论，说明该解可能是对的
C.当M＞＞m时，该解给出a＝gsinθ，这符合预期的结果，说明该解可能是对的
D.当m＞＞M时，该解给出a＝sinθ
这符合预期的结果，说明该解可能是对的
例题：两个等量正点电荷位于x轴上，关于原点O呈对称分布，下列能正确描述电场强度E随位置x变化规律的图是（A）
用极限法，把距离外推到无穷远，电场强度趋近零，且左边的为负值，右边的为正值；把距离外推到零，电场强度趋近无穷大.只有A选项正确.
