本
文
摘
要
模型1：全等形——90°对角互补模型
模型2：全等形——120°对角互补模型
模型3：全等形——任意角对角互补模型
模型4：相似形——90°对角互补模型
经典例题：
【例1】（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD 的边BC，CD 上，∠EAF=1/2∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF 之间的数量关系．
（1）思路梳理
将△ABE 绕点A 逆时针旋转至△ADG，使AB 与AD 重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G 三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF 之间的数量关系为__；
（2）类比引申
如图2，在图1 的条件下，若点E，F 由原来的位置分别变到四边形ABCD 的边CB，DC 延长线上，∠EAF=1/2∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF 之间的数量关系，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E 均在边BC 上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE 的长为________________.
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【例2】（2019·山东枣庄·中考真题）在中，∠ = 90°， = ， ⊥ 于点,（1）如图1，点，分别在，上，且∠ = 90°，当∠ = 30°， = 2时，求线段的长；
（2）如图2，点，分别在，上，且∠ = 90°，求证： = ；
（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且∠ = 90°，求证： + =根号 2;
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形
的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【例3】．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图①，在四边形中， = ，∠ = ∠ = 90°，，分别是边，上的点，且∠ = 1/2∠．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________；
（2）如图②，在四边形中， = ，∠ + ∠ = 180°，，分别是边，上的点，且∠ =1/2∠，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中， = ，∠ + ∠ = 180°，，分别是边，所在直线上的点，且∠ =1/2∠．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系．
【例4】．（2022·全国·八年级课时练习）四边形是由等边和顶角为120°的等腰排成，将一个60°角顶点放在处，将60°角绕点旋转，该60°交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．
（1）当、都在线段上时（如图1），请证明： + = ；
（2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，若 = 7， = 2.1，请直接写出的长为．
