二次函数最值问题的重要性毋庸置疑，其贯穿了整个中学数学，是中学数学的重要内容之一，也是学好中学数学必须攻克的极为重要的问题之一。二次函数在闭区间上的最值问题是二次函数最值问题的典型代表，其问题类型通常包括不含参数和含参数二次函数在闭区间上的最值问题、二次函数在闭区间上的最值逆向性问题以及可转化为二次函数在闭区间上最值的问题，在此类问题的解决过程中，涉及数形结合、分类讨论等重要数学思想与方法。

中考中多涉及到含参数二次函数在闭区间上的最值问题，很多学生不习惯数形结合及分类讨论思想的运用，极易导致解题失误或错误。

经典考题

类型1 求解自变量在不同区间里二次函数最值

1．（2019•大兴区一模）已知二次函数y＝x²﹣2x+3，当自变量x满足﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是______．

【解析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量x在﹣2≤x≤1的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值．

∵二次函数y＝x²﹣2x+3＝（x﹣1）²+2，

∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，

∴当x＝1时，函数有最小值2，

当x＝﹣1时，二次函数有最大值为：（﹣1﹣1）²+2＝6，故答案为6．

2．（2019•新华区校级自主招生）已知函数y＝x²﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　）

A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2

【解析】：∵二次函数y＝x²﹣2x+3＝（x﹣1）²+2，

∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，2），与y轴的交点为（0，3）.其大致图象如图所示：由对称性可知，当y＝3时，x＝0或x＝2，

∵二次函数y＝x²﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，

∴1≤m≤2．故选：C．

3．（2019•郑州模拟）二次函数y＝x²﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝　　．

【解析】：y＝x²﹣4x+a＝（x﹣2）²+a﹣4，

当x＝2时，函数有最小值a﹣4，

∵二次函数y＝x²﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，

﹣2≤x≤3，y随x的增大而增大，

∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．

4．（2019•邯郸模拟）对于题目"二次函数y＝3/4（x﹣m）²+m，当2m﹣3≤x≤2m时，y的最小值是1，求m的值．"甲的结果是m＝1，乙的结果是m＝﹣2，则（　　）

A．甲的结果正确

B．乙的结果正确

C．甲、乙的结果合在一起才正确

D．甲、乙的结果合在一起也不正确

【解析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可求得答案，然后判断即可．

二次函数的对称轴为直线x＝m，

①m＜2m﹣3时，即m＞3，y的最小值是当x＝2m﹣3时的函数值，

此时3/4（2m﹣3﹣m）²+m＝1，

因为方程无解，故m值不存在；

②当2m﹣3≤m≤2m时，即0≤m≤3时，二次函数有最小值1，

此时，m＝1，

③当m＞2m时，即m＜0，y的最小值是当x＝2m时的函数值，

此时，3/4（2m﹣m）²+m＝1，

解得m＝﹣2或m＝2/3，

∵m＜0，∴m＝﹣2,所以甲、乙的结果合在一起正确，故选：C．

类型2 二次函数区间最值解决实际问题

利用二次函数解决实际问题，最常见的为利润问题和费用最低等问题，首先根据题中常见的等量关系建立二次函数模型，然后利用二次函数确定最值，注意要考虑自变量在实际问题中的取值范围。如利润问题，可归纳为以下一般步骤：

（1）找出利润与售价之间的函数解析式（注意自变量的取值范围）；

（2）将二次函数的解析式表达成顶点式；

（3）结合自变量的取值范围求得最值，即求得最大利润。

5．（2019秋•福州期末）为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（单位：h），温度为y（单位：℃）．当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝﹣t²+10t+11，则4≤t≤8时该地区的最高温度是（　　）

A．11℃ B．27℃ C．35℃ D．36℃

【解析】首先确定二次函数的最大值，然后结合自变量的取值范围确定答案即可．∵y＝﹣t2+10t+11＝﹣（t﹣5）²+36，

∴当t＝5时有最大值36℃，

∴4≤t≤8时该地区的最高温度是36℃，故选：D．

6．（2020•郑州一模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m³）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax²+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（　　）

A．33° B．36° C．42° D．49°

【解析】由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x＞(18+54)/2且x＜54，∴36＜x＜54，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，故选：C．

7.（2020•青羊区模拟）某厂按用户需求生产一种产品，成本每件20万元，规定每件售价不低于成本，且不高于40万元．经市场调查，每年的销售量y（件）与每件售价x（万元）满足一次函数关系，部分数据如下表：

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）设商品每年的总利润为W（万元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；

（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少万元时获得最大利涧，最大利润是多少？

【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；

（2）根据题意可以写出W与x之间的函数表达式；

（3）根据（2）中的函数解析式，将其化为顶点式，然后根据成本每千克20元，规定每千克售价不低于成本，且不高于40元，即可得到利润W随售价x的变化而变化的情况，以及售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少．

【解析】：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），

将x=25,y=50; x=30,y=40,代入得25k+b=50, 30k+b=40,

解得，k=-2,b=100.

即y与x之间的函数表达式是y＝﹣2x+100；

（2）由题意可得，

W＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x²+140x﹣2000，

即W与x之间的函数表达式是W＝﹣2x²+140x﹣2000；

（3）∵W＝﹣2x²+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）²+450，20≤x≤40，

∴当20≤x≤35时，W随x的增大而增大，当35≤x≤40时，W随x的增大而减小，

当x＝35时，W取得最大值，此时W＝450，

答：当20≤x≤35时，W随x的增大而增大，当35≤x≤40时，W随x的增大而减小，售价为35元时获得最大利润，最大利润是450元．

8．（2019秋•莱山区期末）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量P（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝1/2x+8．从市场反馈的信息发现，该食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：

已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克

（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围

（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种食材能全部售出；当每天的产量大于市场需求量时，只能售出市场需求的量，而剩余的食材由于保质期短作废弃处理

①当每天的食材能全部售出时，求x的取值范围；

②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当x为多少时，y有最大值，并求出最大利润

【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.

【解答】：（1）由表格的数据，设q与x的函数关系式为：q＝kx+b

根据表格的数据得2k+b=12,4k+b=10,，解得k=-1,b=14，

故q与x的函数关系式为：q＝﹣x+14，其中2≤x≤10

（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q

即1/2x+8≤﹣x+14，解得x≤4

又2≤x≤10，所以此时2≤x≤4

②由①可知，当2≤x≤4时，

方法总结

二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值。

解决二次函数最值问题，若遇见对称轴和取值范围都给定，可分为对称轴在取值范围内和不在取值范围内两种情形。

若对称轴在取值范围内，顶点为最值点，（开口向上为最小值，开口向下为最大值），离对称轴较远的一个端点为另一个最值点（前者是最大值则后者是最小值，否则为最大值）。