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如图:已知∠ABD=20°, ∠CBD=60°,∠BAC=50°, ∠DAC=30°.求∠ADB

解析:方法一

过D作BC的平行线交BA的延长线于F,连接CF,设CF交BD于G,易知△DGF与△BCG均为等边三角形.连接AG,因为DF∥BC,∠ABD=20°, ∠CBD=60°,∠DFG=60°,

所以∠AFG=100°-60°=40°. 因为∠ABD=20°, ∠CBD=60°,∠BAC=50°,所以∠BAC=50°.

所以BA=BC.,又因为△BCG为等边三角形,所以BC=BG.所以BA=BG.又因为∠ABD=20°,所以∠AGB=80°.所以∠AGF=180°-∠AGB-∠FGD=40°.因为∠AGF=∠AFG,所以AF=AG.又因为DF=DG,AD=AD,所以△AGD≌△AFD,所以∠ADF=∠ADG=30°

方法二

作∠CBH=20°,BH交CD于H,因为∠BAC=50°, ∠DAC=30°,所以∠BHC=80°.所以BH=BC.又因为因为∠ABD=20°, ∠CBD=60°,∠BAC=50°,所以∠BAC=50°.

所以BA=BC.所以BA=BH,又因为∠ABH=∠ABC-∠CBH=60°,所以△ABH是等边三角形,所以AH=BH.因为∠CBD=60°,∠BAC=50°, ∠DAC=30°,所以∠BDH=40°.因为∠DBH=40°,所以BH=DH.所以AH=DH.所以∠HAD=∠HAD.因为∠BHC=80°, ∠AHB=60°,所以∠AHD=40°,所以∠ADH=70°.所以∠ADB=30°

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