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方程组的系数矩阵怎么求(系数矩阵与方程组的解)

说到矩阵,我们可能会立刻想到线性代数。

线性代数,不仅是大学理工科本科生的必修课,也是工作中十分有用的理论工具。

例如在机器学习、图像处理、机器人导航、自动控制等领域,线性代数都有着十分广泛的应用。理解并学会运用它,是十分划算的。

但是,线性代数并不友好。

对于很多初学者而言,虽然期末考试可以考个八九十分,但在整个学期的学习过程中,往往从第一节课开始,从头到尾,自始至终,心中都充斥着几个字,那就是,

“莫名其妙”。

很多概念,好像都是无中生有地出现在课本上,前不着村后不着店,让人感觉非常虚无缥缈。虽然我们憋屈地通过死记硬背,解决了作业和考试的问题,但实际上,对于知识本身来说,我们往往跟没学差不多,考后一个月内,立即忘得一干二净。

那么,问题究竟出在哪?为什么线性代数如此难以理解?

好,为了理清思路,我们先来研究一个问题。

在研究这个问题之前,我们先来介绍一下,

什么是矩阵。

比如,

这就是一个两行三列的矩阵,记作2×3的矩阵。

当然,也有三行两列的矩阵,比如:

这里,矩阵中的元素都是实数,因此称为实矩阵。当然,也可以填入复数,那就是复矩阵。

为了方便,我们往往将一个矩阵用大写字母来表示,比如:

这就是教科书上的矩阵了。

那么现在,我有一个很自然的疑问,就是,

矩阵它为什么是这样方的?为啥是矩形的?

有人说,老王,你是不是来捣乱的?这有啥可研究的?

矩阵为啥是方的,那当然是因为数学界把它定义成方的啊!

所谓定义,就是“规定”,

你可以这样定义,也可以那样定义。

比如,

3×5,

表示五个三相加。

这个“叉”的含义,就是定义出来的,你完全可以把3×5定义成5个3相减。但是,这种定义方式就不是数学界所使用的了。

好,既然这个矩阵,它是被定义成方形的,那么,请问,

为什么不定义成别的形状?

比如,三角形:

有人说,因为矩形好看。

我认为三角形也挺好看啊。

有人说老王你不要纠缠这种问题好不好,你到底是来干什么的?

事实上,不是我无聊啊,而是,我翻开书,大脑中第一个问题就是这个问题!

你说,矩阵定义成这个东西,那么,你这本书起码要给点说法不是?

否则,当然会让人产生莫名其妙,无中生有的空虚感。

好,有人说,我想起来了。

之所以矩阵被定义成矩形,是因为,矩阵是用来表示方程组的,

一个方程组就对应一个矩阵,而一个矩阵就对应一个方程组。

比如,

这是一个二元一次方程组,而在消元的过程中,x和y实际上并没有发生任何变化,因此我们可以直接将x和y的系数拿出来,组成一个“数组”,即:

增广矩阵

这,叫作方程组的“增广矩阵”。

所以,很多人就认为,

一个矩阵就对应一个线性方程组,而且,矩阵就是方程组的系数。

有这种理解是很正常的,因为几乎所有教科书第一章第二章都在折腾方程组嘛,所以,很多人在学习矩阵的时候,就是用这条思路学下去的。

但是,如果你一旦陷入这套原理,那么你会发现,整个学习过程,都将是十分难受,十分便秘的,很多概念完全无法理解。

我随便举几个例子。

比如,

相似矩阵。

说,有两个矩阵,A和B,如果你找得到另外一个矩阵P,使得这仨哥们满足:

那么,我们就说,A和B相似。

(P-1指的是P的逆,反正也是个矩阵,这个以后再说)

注意,这个相似的英文就是similar,就是长得像的意思。

好,如果我们陷入矩阵就是方程组的思维,那么,矩阵相似,应该是两个方程组相似了?

方程哪有相似的说法呢???

真是一头雾水,莫名其妙。

又比如,还有一套著名的概念:

矩阵的特征值和特征向量。

也就是说,矩阵它有特征,而且有几个数字,可以代表矩阵的特征。

难道方程组还有特征?

是不是又觉得很莫名其妙。

这样的例子简直是多如牛毛,不胜枚举。

那问题到底出在哪?

实际上,这个问题,跟我们教科书有一定的关系;跟我们的课堂,也有一定的关系。

我不知道是不是很多老师觉得我刚才问的那几个问题太简单了,不屑于在课堂上讲。但实际上,我觉得,解答这些问题是非常重要的。

就是,

我们一定要在一开始,让大家觉得,这些东西是很自然的,而不是需要死记硬背的。

那么,为什么矩阵有这么多相关概念,却又难得理解呢?

是因为我们理解的方法错了。

首先,

矩阵就不一定表示方程组的系数。

而是,

矩阵只是一堆数字的阵列,仅此而已。

矩阵的定义,无需引入方程组。你让矩阵的这些数字代表什么,它就可以代表什么。

比如,我统计每天上午和下午的工作时间,连续统计了三天,分别是,

上午1小时,下午4小时;

上午2小时,下午5小时;

上午3小时,下午6小时;

那么,我们可以将这些数据,表达成一个矩阵,

然后我可以对这些数据进行各种计算和处理,比如,我需要计算平均值,或最大值,等等。

也就是说,

矩阵它没有必要是方程组的系数,其定义与方程组无关。

那么,有人说,

为什么人们又可以用矩阵的方式,去表示方程组呢?

这就是问题的要害。

事实上,所有的问题,根本在于,我们很多人在学习的过程当中,

把矩阵的历史发展顺序,与矩阵理论的逻辑顺序,搞混了。

而且更要命的是,这两个顺序,正好是个反的。

什么意思呢?

首先,历史上,矩阵这个东西是怎么发展出来的?

我们刚才已经讲了,就是人们在研究方程组的时候,把它的系数,提取出来,解方程。用系数的阵列来解方程,最早在公元1世纪的《九章算术》中就有了。

然后,我们就来研究这堆矩形的数字的阵列,发现,其实可以单独搞成一门学问,于是就给它起了个名字,叫“矩阵(matrix)”。

Matrix这个词是1850年才出现的。

因此,矩阵的历史发展顺序是,

先有方程组,然后,为了解方程,而搞出了一个系数矩阵,然后推广,成了一门学问。

而现代线性代数理论的逻辑顺序是什么呢?

是,

我们先脱离了方程组,来直接定义了什么是矩阵。

什么是矩阵呢,矩阵就是一堆数字的阵列:

这个A,就是一个矩阵。除此之外,再无其它的意思,和方程组没半毛钱的关系。

那么有人说,既然这样,那么这矩阵在理论上,怎么又跟方程组扯上关系了呢?

那是因为,

我们后来又定义了矩阵的计算方法。

矩阵,

它可以做加法。

矩阵和矩阵,可以做乘法。

矩阵和数字,可以做乘法。

矩阵它还有逆运算,就是我们刚才说的那个P逆。

矩阵还有转置运算。

矩阵它还可以平方,它可以进行幂运算。

等等。

但是注意,定义这么多运算,也不需要引入方程组这玩意,而只需要在矩阵的定义基础上,再定义矩阵的运算法则。(关于矩阵的计算,专栏有详细介绍)

然后,对于一个方程组,

我们可以利用该方程组的系数,创造出三个矩阵:

然后,利用矩阵的乘法法则,将该方程组表示为:

这样,矩阵和方程组在教科书中就扯上关系了。

但是,我们一定要非常明白,在线性代数课本中,

矩阵的定义无需方程组的参与。

这就是为什么,很多人无法理解线性代数的原因。因为很多人,包括我刚上课时,总是在想,这相似矩阵和方程组到底有啥关系呢?

实际上,相似是另一套理论体系中的东西,铺垫相当多,不是一两句话可以说清的。关于这个,我们在专栏的视频中详细介绍。

可见,我们不理解很多东西的原因,并不是我们的智商问题,而是一些稀烂的教科书,让我们一开始就掉进坑里,再也爬不出来,直至怀疑人生。

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