整体刚度矩阵是什么矩阵（刚度矩阵元素的物理意义）

一、引入：

开门见山，矩阵的物理意义有两个，其一是坐标系，其二是运动。

那两者之间有什么关系吗？有的。一个点的运动，等价于改变了这个点的坐标系。

在详细介绍这个概念之前。我们先明确一个概念，那就是任何向量都需要一个坐标系。就好比如果我们观察一个物体是否运动，就必须选择好一个参考物，选择不同的参考物，你会得出不同的结论。比如观察汽车是否运动，那就要看，你是在哪儿看的，如果你在陆地上看，那么汽车的确在运动，但是如果你在汽车上的话，你会认为汽车没有动。这就是不同的参考物对观察结果的影响。这就是运动的相对性。同样的任何向量都需要一个坐标系，该坐标系就等价于例子中的参考物，坐标系不同，你得出的向量不同。

回到刚才的例子，有了参考物，有了观察目标，以后简称目标物。我们如何描述两者远离的运动呢？方法1是认为参考物不动，目标物动，一个是认为目标物不动，参考物动。比如以老师为参考物，车里的学生为目标物。我们可以认为老师不动，学生在随车向左走，同样的我们可以认为学生没有动，但是老师是向右走。第一种描述的是目标点的运动，第二个描述的是坐标系的运动，也可以理解为改变了坐标系。

图1 例子

更具体的，假设在一个数轴上的两个点，如图中的红点a和绿点b。我们如果求a与b的距离。a为原点b为目标点，其中b点的坐标为相对于a的位置。如下图可见假设图1-1中a,b距离为4。则b相对于原点a的坐标为4。现在像将b相对于a的坐标改为3。方法有下面两个：

方法一：b向左移动1。如图1-2中，b向左移动了1，则b的坐标为3。

方法二：a向右移动1。故b相对于a的坐标为3。如图1-3中a向右移动了1，则b与a的距离变成了3，故b的坐标变成了3。

所以可以发现以下两个问题

1.所谓b的坐标其实是描述，a,b两点的相对关系。因为坐标的实质是距离，而距离至少需要两个点（这句只是自己别忘，不用理解）。

2.如果改变b相对于a的坐标，可以改变b的位置，也可以改变原点a的位置。

图2 引入

二、向量与坐标系

正常的为了表示一个向量，我们需要一个坐标系，就像引入中讲的，点的坐标不可能脱离参考点存在，向量也不可能脱离坐标系存在，向量描述的是有向线段与坐标系的相对关系。同样一个向量，他在不同的坐标系中，他的坐标是不同的。

如下图所示，其中有黑色与灰色两种坐标系，为了下面介绍方便，以后便分别称他们为黑坐标系与灰坐标系。假设灰坐标系是由黑坐标系沿逆时针旋转得到的，其中旋转矩阵为H−1H^{-1} 。假设表示黑坐标系的矩阵为单位矩阵E，则表示灰色坐标系的矩阵用H−1H^{-1}表示。

假设有向线段a在黑坐标系中，表示为向量 α\alpha ，则在灰坐标系中则需要用HαH\alpha 表示。具体计算方法为：

Eα=H−1Hα=H−1(Hα)E\alpha=H^{-1}H\alpha=H^{-1}(H\alpha) 。

还有一个有向线段b是由a沿顺时针方向旋转得到的，旋转矩阵为H。且在黑色坐标系中表示为向量β\beta ，则 β=Hα\beta=H\alpha 。即向量 β\beta 可用HαH\alpha。这不就是向量α\alpha在坐标系H−1H^{-1}中的向量吗？是的。

那为什么会由相同的结果呢，这个就回到之前引入的问题了。因为所谓向量描述的是有向线段与坐标系之间的相对关系，不可以脱离坐标系存在。改变有向线段a与黑坐标系之间的关系，可以通过移动向量a来完成，也可以通过移动黑坐标系来完成，其原理与引入中的例子是一样的。都在描述运动，之所以有两种理解方式是因为运动存在相对性。

说明以下，有向线段即是向量，这里用有向线段这种说法是为了叙述简单。