本
文
摘
要
一、引入:
开门见山,矩阵的物理意义有两个,其一是坐标系,其二是运动。
那两者之间有什么关系吗?有的。一个点的运动,等价于改变了这个点的坐标系。
在详细介绍这个概念之前。我们先明确一个概念,那就是任何向量都需要一个坐标系。就好比如果我们观察一个物体是否运动,就必须选择好一个参考物,选择不同的参考物,你会得出不同的结论。比如观察汽车是否运动,那就要看,你是在哪儿看的,如果你在陆地上看,那么汽车的确在运动,但是如果你在汽车上的话,你会认为汽车没有动。这就是不同的参考物对观察结果的影响。这就是运动的相对性。同样的任何向量都需要一个坐标系,该坐标系就等价于例子中的参考物,坐标系不同,你得出的向量不同。
回到刚才的例子,有了参考物,有了观察目标,以后简称目标物。我们如何描述两者远离的运动呢?方法1是认为参考物不动,目标物动,一个是认为目标物不动,参考物动。比如以老师为参考物,车里的学生为目标物。我们可以认为老师不动,学生在随车向左走,同样的我们可以认为学生没有动,但是老师是向右走。第一种描述的是目标点的运动,第二个描述的是坐标系的运动,也可以理解为改变了坐标系。
图1 例子更具体的,假设在一个数轴上的两个点,如图中的红点a和绿点b。我们如果求a与b的距离。a为原点b为目标点,其中b点的坐标为相对于a的位置。如下图可见假设图1-1中a,b距离为4。则b相对于原点a的坐标为4。现在像将b相对于a的坐标改为3。方法有下面两个:
方法一:b向左移动1。如图1-2中,b向左移动了1,则b的坐标为3。
方法二:a向右移动1。故b相对于a的坐标为3。如图1-3中a向右移动了1,则b与a的距离变成了3,故b的坐标变成了3。
所以可以发现以下两个问题
1.所谓b的坐标其实是描述,a,b两点的相对关系。因为坐标的实质是距离,而距离至少需要两个点(这句只是自己别忘,不用理解)。
2.如果改变b相对于a的坐标,可以改变b的位置,也可以改变原点a的位置。
图2 引入二、向量与坐标系
正常的为了表示一个向量,我们需要一个坐标系,就像引入中讲的,点的坐标不可能脱离参考点存在,向量也不可能脱离坐标系存在,向量描述的是有向线段与坐标系的相对关系。同样一个向量,他在不同的坐标系中,他的坐标是不同的。
如下图所示,其中有黑色与灰色两种坐标系,为了下面介绍方便,以后便分别称他们为黑坐标系与灰坐标系。假设灰坐标系是由黑坐标系沿逆时针旋转得到的,其中旋转矩阵为H−1H^{-1} 。假设表示黑坐标系的矩阵为单位矩阵E,则表示灰色坐标系的矩阵用H−1H^{-1}表示。
假设有向线段a在黑坐标系中,表示为向量 α\alpha ,则在灰坐标系中则需要用HαH\alpha 表示。具体计算方法为:
Eα=H−1Hα=H−1(Hα)E\alpha=H^{-1}H\alpha=H^{-1}(H\alpha) 。
还有一个有向线段b是由a沿顺时针方向旋转得到的,旋转矩阵为H。且在黑色坐标系中表示为向量β\beta ,则 β=Hα\beta=H\alpha 。即向量 β\beta 可用HαH\alpha。这不就是向量α\alpha在坐标系H−1H^{-1}中的向量吗?是的。
那为什么会由相同的结果呢,这个就回到之前引入的问题了。因为所谓向量描述的是有向线段与坐标系之间的相对关系,不可以脱离坐标系存在。改变有向线段a与黑坐标系之间的关系,可以通过移动向量a来完成,也可以通过移动黑坐标系来完成,其原理与引入中的例子是一样的。都在描述运动,之所以有两种理解方式是因为运动存在相对性。
说明以下,有向线段即是向量,这里用有向线段这种说法是为了叙述简单。