本
文
摘
要
泰勒公式和拉格朗日中值定理都是属于微分中值定理的内容。《老黄学高数》系列视频从第175讲开始，到第211讲都在讲这方面的内容。其中包括三大微分中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，还有泰勒公式的两种形式以及麦克劳林公式等内容。如果你对这方面没有基础，可以从这套学习视频中系统地学到所需的知识。
这些知识都是有其内在联系的，虽然它们的联系在学习视频中通过定理的证明和例题等，都有涉及，但其内涵还是要靠平时的练习来加强理解的。下面就是一道可以运用泰勒公式，也可以运用拉格朗日中值定理解决的应用题。老黄会为你分析两种解法，希望你能从中感受到泰勒公式和拉格朗日中值定理的联系。
设函数f在[0,a]上二阶可导，且|f”(x)|≤M, f在(0,a)取得最大值. 证明：|f’(0)|+|f’(a)|≤Ma.
方法一，运用泰勒公式。方法二，运用拉格朗日中值定理。
证：记ξ∈(0,a)，使f(ξ)最大, 则f’(ξ)=0. 【二阶可导函数的最大值点，肯定是极大值点，所以导数等于0，这一步是两种方法共有的】
方法一：f(x)=f(0)+f’(0)x+1/2*f”(ξ1)x^2, 0<ξ1<x<a, 【这是函数在x=0的泰勒公式，其实就是麦克劳林公式】
f’(x)=f’(0)+f”(ξ1)x, 【对泰勒公式求导，这个方法估计初学者一般想不到】
f’(ξ)=f’(0)+f”(ξ1)ξ=0, 【代入x=ξ，这一步很关系。而且这一步其实就是f(x)在[0,ξ]上的拉格朗日中值公式，你发现了吗？】
f’(0)=-f”(ξ1)ξ,
f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+1/2*f”(ξ2)(x-a)2, 0<x<ξ2<a, 【这是函数在x=a的泰勒公式】
f’(x)=f’(a)+f”(ξ2)(x-a), f’(ξ)=f’(a)+f”(ξ2)(ξ-a)=0, f’(a)=-f”(ξ2)(ξ-a), 【其实可用“同理”，来直接得到这一步的结论。来到这里，聪明的你应该知道接下来该怎么做了吧！所谓水到渠成嘛】
|f’(0)|+|f’(a)|=|-f”(ξ1)ξ|+|-f”(ξ2)(ξ-a)|=ξ|f”(ξ1)|+(a-ξ)|f”(ξ2)|,
∵|f”(ξ1)|≤M,|f”(ξ2)|≤M, ∴|f’(0)|+|f’(a)|≤ξM+(a-ξ)M=Ma.
方法二：对f’(x)在[0,a]应用拉格朗日中值定理，可知，
存在ξ1,ξ2∈(0,a)使得：
|f’(0)|=|f’(ξ)-f’(0)|=|f”(ξ1)|ξ ≤Mξ，【这是在[0,ξ]上运用拉格朗日中值定理公式的变形，包括取了绝对值】
|f’(a)|=|f’(ξ)- f’(a)|=|f”(ξ2)|(a-ξ)≤M(a-ξ)，【这是在[ξ,a]上运用拉格朗日中值定理】
∴|f’(0)|+|f’(a)|≤Mξ+M(a-ξ)=Ma.
可以看到，方法二用拉格朗日中值定理证明简便得多，但这类题目并非都可以用这种方法解决的。当拉格朗日中值定理搞不定时，你就不得不考虑使用柯西中值定理，甚至是泰勒公式了。三种方法，可以说是三个层次，也对应着三种难度。在这个过程中，你发现拉格朗日中值定理和泰勒公式之间的联系了吗？
