本
文
摘
要
关于数学难题，这个问题参考下面这本书。部分列出在下面的回答中。
三噩姬六花：你遇到的最难的一个数学题是什么？270 赞同 · 38 评论回答下面介绍一些著名的数学悖论：
1芝诺悖论
在阿喀琉斯和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！
设想一支飞行的箭。在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没有时间而只能是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。
设想一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……如此循环下去，永远不能到终点。
2伽利略悖论
伽利略认为，正整数中，有些是偶数，有些不是。因此，他就猜测，正整数一定比偶数多。但是每一个正整数乘以 2 都能得到一个偶数，而每一个偶数除以 2 都能得到一个正整数，那么从无限的数看来，偶数和正整数都是一一对应的，那么，这就说明，在无穷大的世界里，部分可能等于全体。
3贝克莱悖论
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。
4 *** 论悖论
罗素悖论（也称理发师悖论、书目悖论）是由罗素发现的一个 *** 论悖论，其基本思想是：对于任意一个 *** A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即A∉A。根据康托尔 *** 论的概括原则，可将所有不是自身元素的 *** 构成一个 *** S1，即S1={x:x∉x}.
据康托尔 *** 理论，任何性质都可以决定一个 *** ，这样所有的 *** 又可以组成一个 *** ，即“所有 *** 的 *** ”。此 *** 应该是最大的 *** 了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的 *** 的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有 *** 的 *** ”就不成其为“所有 *** 的 *** ”，这就是“康托尔悖论”。对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有 *** 的 *** ”或者说“最大的 *** ”，当然也没有“最大的基数”。
设W为一切序数所组成的 *** 。因为W按自然大小顺序成一良序集，故W有一序数Ω。由序数性质，Ω必比W中任一序数都大，但由定义，Ω也出现在W中，从而将有Ω>Ω，这是矛盾的。即推出互相矛盾的命题，所以是悖论。后来就称之为布拉利－福尔蒂悖论，也叫最大序数悖论。
5理查德悖论
我们考虑一个能够用来定义整数的算术特征的语言，比如汉语。我们可以用语言“第一个自然数”来定义数字 1。又比如我们熟知的质数的定义——如果这个数“只能被一以及它自己整除”，那么该数字是一个质数。
每个人都能找到一些数字的特征，所有这些定义的数量是无穷大的。但是我们可以注意到，每个特征的定义都是由有限多的字组成的。因此我们可以把这些定义首先按照其字数多少进行排序，然后按照其字典顺序（或者按照其对应的编码的大小）定义排列成一串。
如果我们将每个定义映射到一个数上，让排在最前面的定义映射到1上，第二前面的定义映射到2上，等等。每个定义都有一个号码。
比如在某种定义的叙述下，“只能被一以及他自己整除”这个定义对应的号码恰好是11。而且11本身也只能被1和它自己整除，因此该定义的号码具有该定义的特征，我们称11不具有理查德性。但是“定义对应的号码满足该定义”这一点不一定总是正确的。比如假如“第一个自然数”对应的号码为4，那么它的号码与它定义的特征”不同，这个数就是理查德性的。
但是因为理查德性本身是一个整数的特征，因此它也在被列举的定义之内。按照理查德性的定义，它本身也有一个号码 n。现在这个悖论来了：n是理查德性的吗？假如 n是理查德性的，那么按照定义它没有第 n个定义所描写的特征，也就是说 n不是理查德性的，这和我们的假设相反。
而假设 n不是理查德性的，那么它拥有第 n个定义所描写的特征，也就是说它是理查德性的，这也和我们的假设相反。因此“n是理查德性的”既不能是正确的，也不能是错误的。
6希帕索斯悖论
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
