最速降线的概念（最速降线命题）

最速降线的一个重要性质：任意一点上切线和铅垂线所成的角度的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数．而具有这种性质的曲线就是摆线．所谓摆线，它是一个圆沿着一条直线滚动（无滑动）时，圆周上任意一点的轨迹。

在只考虑重力的作用的情况下，不计摩擦力，一质点在竖直面从A点沿某条曲线到B点，问怎样的曲线能使所走的时间最短？

这一个问题被称为最速降线问题（Brachistochrone），由约翰·伯努利在1696年提出来挑战欧洲的数学家，牛顿用一个晚上就做出来了，但是没公开发表（太简单了，不觉得有发表的必要）。

解决这个问题，最普遍的方法是变分法，此方法可以参考百度百科的词条。

这里我们用一个巧妙的方法来求解这一问题，这方法也是约翰·伯努利本人的做法。

1、费马原理（最小作用量原理）

首先利用费马原理：一束光从A点传播到B点总是沿着尽可能快的路径（唯一一条）。

从费马原理可导出斯涅耳定理（Snell’s Law），也叫做折射定律。其中入射光和折射光位于同一个平面上，并且入射角、折射角、传播速度满足如下关系——

因此原问题可以想象为一束光在不同折射率的介质中传播，即以不同的速度连续地沿着滑道向下走：

当层数不断增加，我们就得到了想要的路径。

由能量守恒定律，重力势能转化为动能，因此：

又根据斯涅尔定理可得：

这就是我们要求的曲线方程。

2、摆线

这一曲线方程实际上就是摆线，即滚动的轮子边缘上的一点所描述的形状。

圆上定点P，圆与水平线的切点为C，圆滚动时，点C充当点P的瞬时旋转中心：

所以CP垂直于摆线过点P的切线，又因直角圆周角对应直径，所以该切线一定过圆的最低点，交点与C的连线即为圆的直径：

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设直线与切线的夹角为θ，根据相似三角形，我们可以计算出点P到水平线的距离：

即

由此证明最速降线实际就是摆线。