本
文
摘
要
20世纪数学的指路人——希尔伯特
1900年8月8日，在巴黎第二届国际数学家大会上，德国的希尔伯特(David Hilbert 1862—1943)提出新世纪数学家应当努力解决的23个问题。从那以后，全世界几乎所有的数学家，都被他吸引。这23个问题成为20世纪数学学科发展的缩影。这些问题的研究有力地推动了20世纪数学的发展。
希尔伯特的工作涉及许多数学基本问题。19世纪中叶以后，与通常的欧几里德几何不同的非欧几何出现后，暴露了几千年来被认为非常严密的欧几里德几何的缺陷，需要改进。希尔伯特的巨著《几何学基础》，提出了一个更为严谨完整的几何公理系统，并引起了20世纪初为建立各个数学分支牢固基础而努力的“公理化运动”。
他在1900年提出的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点，在世界上产生了深远的影响。著名的哥德巴赫猜想也是问题之一，以陈景润为代表的中国数学家获得了重大突破，但还没有彻底解决。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为“无冕的数学之王”。
希尔伯特生于普鲁士，从小对数学得心应手。他的一位亲戚回忆说，小希尔伯特“作文”要靠妈妈帮助，但是却能给老师讲解数学难题。希尔伯特18岁进大学，23岁获博士学位。
希尔伯特不仅是位杰出的学者，而且是为思想自由、政治民主而斗争的战士，1943年2月14日与世长辞。后人在他的墓碑上镌刻着他的格言：“我们必须知道，我们必将知道。”
2. 几何之父——欧几里德
我们现在学习的几何学，是由古希腊数学家欧几里德(Alexandria Euclid 公元前330—前275)创立的。他在公元前300年编写的《几何原本》，2000多年来都被看作学习几何的标准课本，所以称欧几里德为几何之父。
欧几里德生于雅典，接受了希腊古典数学及各种科学文化，30岁就成了有名的学者。应当时埃及国王的邀请，他客居亚历山大城，一边教学，一边从事研究。
古希腊的数学研究有着十分悠久的历史，曾经出过一些几何学著作，但都是讨论某一方面的问题，内容不够系统。欧几里德汇集了前人的成果，采用前所未有的独特编写方式，先提出定义、公理、公设，然后由简到繁地证明了一系列定理，讨论了平面图形和立体图形，还讨论了整数、分数、比例等等，终于完成了《几何原本》这部巨著。
《原本》问世后，它的手抄本流传了1800多年。1482年印刷发行以后，重版了大约一千版次，还被译为世界各主要语种。13世纪时曾传入中国，不久就失传了，1607年重新翻译了前六卷，1857年又翻译了后九卷。
欧几里德善于用简单的方法解决复杂的问题。他在人的身影与高正好相等的时刻，测量了金字塔影的长度，解决了当时无人能解的金字塔高度的大难题。他说：“此时塔影的长度就是金字塔的高度。”
欧几里德是位温良敦厚的教育家。欧几里得也是一位治学严谨的学者，他反对在做学问时投机取巧和追求名利，反对投机取巧、急功近利的作风。尽管欧几里德简化了他的几何学，国王（托勒密王）还是不理解，希望找一条学习几何的捷径。欧几里德说：“在几何学里，大家只能走一条路，没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴言。一次，他的一个学生问他，学会几何学有什么好处?他幽默地对仆人说：“给他三个钱币，因为他想从学习中获取实利。”
欧氏还有《已知数》《图形的分割》等著作。
3. 解析几何的创始人——笛卡尔
法国数学家、物理学家、哲学家笛卡尔(Rene Descartes 1596—1650)，生前因怀疑教会信条受到迫害，长年在国外避难。他的著作生前或被禁止出版或被烧毁，他死后多年还被列入“ *** 目录”。但在今天，法国首都巴黎安葬民族先贤的圣日耳曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人”。
笛卡尔的著作，无论是数学、自然科学，还是哲学，都开创了这些学科的崭新时代。《几何学》是他公开发表的唯一数学著作，虽则只有117页，但它标志着代数与几何的第一次完美结合，使形形 *** 的代数方程表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化为代数题后能轻而易举地找到答案.他的主要著作都是在荷兰完成的，其中1637年出版的《方法论》一书成为哲学经典。这本书中的3个著名附录《几何》《折光》和《气象》更奠定了笛卡儿在数学、物理和天文学中的地位。在《几何》中，笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点，指出：希腊人的几何过于抽象，而且过多的依赖于图形，总是要寻求一些奇妙的想法。代数却完全受法则和公式的控制，以致于阻碍了自由的思想和创造。他同时看到了几何的直观与推理的优势和代数机械化运算的力量。于是笛卡儿着手解决这个问题，并由此创立了解析几何。所以说笛卡尔是解析几何的创始人。
笛卡尔一生作出了多方面的贡献，他在1634年写的《宇宙学》，包含当时被教会视为“异端”的观点：他提出地球自转和宇宙无限；他提的漩涡说是当时最权威的太阳起源理论；他还提出了光的本性是粒子流的假说，并认为在广袤无垠的太空中存在着极其精细的以太。直到二三百年以后，笛卡尔的这些观点仍具有很高的研究价值。
笛卡尔出生于法国拉哈的律师家庭，他一出世母亲就病故了，依靠保姆照料长大。笛卡尔在当时欧洲最著名的拉夫雷士学校读书，他虽身体孱弱，但尊敬师长，勤奋刻苦。笛卡尔生活在资产阶级与封建领主、科学与神学进行激烈斗争的时代。从读书始便对僵化的说教有强烈的怀疑批判精神，坚定不移地寻找真理。笛卡尔在获得法学博士学位后，为了“读世界这本大书”，曾到荷兰服役，一边到各地旅行，一边和朋友讨论数学和科学问题。他探求正确的思想方法，创立为实践服务的哲学，“才能成为自然的主人”。退伍以后，主要居住在荷兰，也曾回到法国，从事学术研究。1649年应邀去瑞典担任女王的教师，最后因肺炎病逝在异国。
4. 科学巨人——牛顿
伊撒克·牛顿（Isaac Newton 1642~1727）于1642年12月25日出生在英国林肯郡沃尔斯索普村。他是个早产儿，出生时十分脆弱和瘦小。在他出生之后的最初几个月里，医生不得不在他的脖子上装了一个支架来保护他，没有人期望他能活下来。后来，牛顿时常拿自己开玩笑，说他妈妈曾告诉他：他出生时是如此弱小，以至于可以把他放进一个一夸脱（约1．14升）的大杯子里。
牛顿的父亲是一个农民，在他出生前几个月就去世了。当他还不到两岁的时候，他母亲改嫁给了当地的一位牧师，小牛顿只好寄宿在他年迈的外婆家中。牛顿小时候性格孤僻腼腆，对功课也不感兴趣，学习很吃力。12岁时，他由农村小学转到格朗达姆镇学校，在班上被同学瞧不起，而且常常受欺负。有一次，班上的一个大个子又欺负他，牛顿终于忍无可忍，奋起反抗，竟然把对方打败了。从此他发奋读书，成绩逐渐上升到全班第一。14岁那年，他继父病故，他母亲就把他接回家并想把他培养成一个农民。但事实表明牛顿并不适合做这方面的事情。他宁愿读书，做一些木制模型，他曾经自己做过一个以老鼠为动力的磨面粉的磨和一个用水推动的木钟，就是不愿意干农活。幸运的是，他母亲最终放弃了这种尝试并让他回到中学去学习。
1661年6月，18岁的牛顿考进了剑桥大学的三一学院。在最初的一段时间里，他的成绩并不突出。但在导师巴罗的影响下，他的学业开始突飞猛进。巴罗这位优秀的数学家、古典学者、天文学家和光学研究领域里的权威，是第一个发现牛顿天才的人。1664年，牛顿获得学士学位，1665年毕业于剑桥大学，并留校作研究工作。在此期间，牛顿开始把注意力放在数学上。他先读了欧几里得的《几何原本》，在他看来那太容易了；然后他又读笛卡儿的《几何学》，这对他来说又有些困难。他还读了奥特雷德的《入门》，开普勒和韦达的著作，还有沃利斯的《无穷的算术》。他从读数学到研究数学，二十二岁时就发现了二项式定理的推广形式，并且创造了流数术，即我们现在所说的求导数方法。1666年6月由于凶猛的鼠疫横行，剑桥大学被迫停课。牛顿回到了伍尔斯托普家乡，住了将近两年。其间，他研究数学和物理问题，并且将万有引力理论的基本原理系统化。1666年，他做了第一个光学实验，用三棱镜分析日光，发现白光是由不同颜色的光构成的，从而奠定了光谱分析学的基础。
1667年，牛顿回到剑桥，有两年的功夫主要从事光学研究。1669年，巴罗把自己卢卡斯讲座的席位让给了牛顿，于是牛顿开始了他长达18年的大学教授生涯。他的第一个讲演是关于光学理论的，后来他把它作为一篇论文在英国皇家学会会刊上发表，并引起了相当大的反响。他在光学中得到的一些结论引起了一些科学家的猛烈攻击。他看到这些争论非常无聊，就发誓再也不发表任何关于科学的东西了。也许就是因为这个原因，从而引发了他与莱布尼茨在微积分发现的优先权上的争论。这场争论导致英国数学家追认牛顿为他们的导师，并割断了他们与欧洲大陆的联系。从而使英国的数学进展推迟了一百年。
牛顿的《流数术》写于1671年。在这部影响深远的著作中，牛顿阐述了他的微积分的一些基本概念，还有对代数方程或超越方程都适用的实根近似值求法。这种方法后来被称为牛顿法。
1672年，由于他设计、制造了反射望远镜，而被选为皇家学会会员。他把关于光的粒子学说的论著寄给了皇家学会，他的声誉以及对理论的巧妙处理，使该理论得到了普遍采用。
牛顿从1673年到1683年在大学的讲演主要是关于代数和方程论的。其演讲内容都包括在1707年发表的《通用算术》一书中。其中，有许多方程论的成果，如：实多项式的虚根必成对出现；求多项式根的上界的规则等等。
1679年，牛顿把对地球半径的一次新的测量与对月球运动的研究联系起来，并以此来证实他的万有引力定律。他还假定太阳和行星为重质点，证明了他的万有引力定律与开普勒的行星运动定律的一致性。但有5年之久，他没有把这个重要的发现告诉任何人。后来，哈雷看到了牛顿的原稿，认识到它的重要性。于是在他的鼓励下，牛顿从1685年至1687年，完成了巨著《自然科学的数学原理》第1、2、3册，由哈雷出资发表。这部著作的诞生立刻对整个欧洲产生了巨大影响。
这本书中，第一次有了地球和天体主要运动现象的完整的力学体系和完整的数学公式。事实证明，这是科学史上最有影响、荣誉最高的著作。有意思的是，这些定理也许是用流数术发现的，但却都是借助古典希腊几何熟练地证明的。在相对论出现之前，整个物理学和天文学都是以牛顿在这部著作中作出的一个特别适合的坐标系的假定为基础的。书中还有许多涉及高次平面曲线的成果和一些引人入胜的几何定理的证明。
1689年，牛顿成为剑桥大学选出的国会议员。1692年，他得了奇怪的病，持续了大约两年，致使他有些精神失常。1696年，牛顿被任命为造币局总监。1699年，他被法国巴黎科学院选为外籍院土，同时被提升为造币厂厂长。1703年，被选为皇家学会主席并连任20年，直至他逝世。1705年，他被封为爵士。晚年，他主要从事化学、炼丹和神学。虽然他在数学上创造性的工作实质上已经停止了，但他还没有失去这方面的非凡能力，仍能熟练地解决提供给他的数学竞赛题，而这些题目是远远超过了其他数学家的能力的。在他晚年的生活中，与莱布尼茨那场不幸的争论，使他很不愉快。1727年，他在一场拖了很久的痛苦的病中死去，终年85岁。他被安葬在威斯敏斯特教堂。
纵览牛顿的一生，他不愧为最伟大的数学家和物理学家。他对物理问题的洞察力以及运用数学方法处理物理问题的能力，都是空前卓越的。莱布尼茨说：“在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过一半！”
然而，牛顿对自己的评价却十分谦虚：“我不知道世间把我看成什么样的人；但是对我来说，就像一个在海边玩耍的小孩，有时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的贝壳，感到高兴，在我前面是完全没有被发现的真理的大海洋。”他很尊重前人的成果，他说如果他比别人看得远些，那只是由于站在巨人肩上的原故。
5. 历史上最伟大的数学家之一——欧拉
欧拉（Leonhard Euler 1707—1783）1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导。
欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清．他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为"分析学的化身"．
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．
欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗．他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后，也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说："研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法．"
欧拉的父亲保罗·欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点数学．由于小欧拉的才能和异常勤奋的精神，又受到约翰·伯努利的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了．
1725年约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡．1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁．1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明．不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了．
沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录．欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久．
欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成．有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来．欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题．
欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生．等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉．他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过："欧拉是我们的导师．" 欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说："我死了"，欧拉终于"停止了生命和计算"．
欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。欧拉还发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数v、棱数e、面数f之间总有v-e+f=2这个关系。v-e+f被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念。在数论中，欧拉首先引进了重要的欧拉函数φ(n)，用多种方法证明了费马小定理。以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 与此同时，他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。［欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等．
6. 数学王子——高斯
十八九世纪之交，德国产生了一位伟大的数学家，他就是人称“数学王子”的高斯(C.F. Gauss 1777～1855)。
高斯在上小学的时候，有一次数学老师出了个题目，1+2+…+100=？由于看出1+100=101，2+99=101，…，50+51=101共50个101，因而高斯立刻答出了5050的结果，此举令老师称赞不已。
对数学的痴迷，加上勤奋的学习，18岁时高斯发明了用圆规和直尺作正17边形的方法，从而解决了2000年来悬而未解的难题。他21岁大学毕业，22岁获博士学位。他在博士论文中证明了代数基本定理，即一元n次方程在复数范围内一定有n个根。在几何方面，高斯是非欧几何的发明人之一。高斯最重要的贡献还是在数论上，他的伟大著作《算术研究》标志着数论成为独立的数学分支学科的开始，而且这本书所讨论的内容成为直到20世纪数论研究的方向。高斯首先使用了同余记号，并系统而深入地阐述了同余式的理论；他证明了数论中的重要结果二次互反律等。高斯去世后，人们建立了以正17边形棱柱为基座的高斯像，以纪念这位伟大的数学家。
18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。
高斯计算的谷神星轨迹，高斯总结了复数的应用，并且严格证明了每一个n阶的代数方程必有n个复数解。在他的第一本著名的著作《数论》中，作出了二次互反律的证明，成为数论继续发展的重要基础。在这部著作的第一章，导出了三角形全等定理的概念。
高斯在他的建立在最小二乘法基础上的测量平差理论的帮助下，计算出天体的运行轨迹。并用这种方法，发现了谷神星的运行轨迹。谷神星于1801年由意大利天文学家皮亚齐发现，但他因病耽误了观测，失去了这颗小行星的轨迹。皮亚齐以希腊神话中“丰收女神”(Ceres)来命名它，即谷神星(Planetoiden Ceres)，并将以前观测的位置发表出来，希望全球的天文学家一起寻找。高斯通过以前的三次观测数据，计算出了谷神星的运行轨迹。奥地利天文学家 奥伯斯（Heinrich Olbers）在高斯的计算出的轨道上成功发现了这颗小行星。从此高斯名扬天下。高斯将这种方法著述在著作《天体运动论》(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium )中。
高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流通的10德国马克的纸币上。
7. 万能大师——莱布尼茨
德国有一位被世人誉为“万能大师”的通才，他就是莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz 1646－1716)，他在数学、逻辑学、文学、史学和法学等方面都很有建树。
莱布尼茨生于莱比锡，6岁时丧父，但作为大学伦理学教授的父亲给他留下了丰富的藏书，引起了他广泛的学习兴趣。他11岁时自学了拉丁语和希腊语；15岁时因不满足对古典文学和史学的研究，进入莱比锡大学学习法律，同时对逻辑学和哲学很感兴趣。莱布尼茨思想活跃，不盲从，有主见，在20岁时就写出了《论组合的技巧》的论文，创立了关于“普遍特征”的“通用代数”，即数理逻辑的新思想。
莱布尼茨还与英国数学家、大物理学家牛顿分别独立地创立了微积分学。莱布尼茨是从哲学的角度来研究数学的，他终生奋斗的主要目标是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法，他的许多数学发现就是在这种目的的驱使下获得的。牛顿建立微积分学主要是从物理学、运动学的观点出发，而莱布尼茨则从哲学、几何学的角度去考虑。今天的积分号∫(拉长的字母S)、微分号d都是莱布尼茨首先使用的。值得一提的是，他发明了能做乘法、除法的机械式计算机(十进制)，并首先系统研究了二进制记数方法，这对于现代计算机的发明至关重要。1716年11月14日，莱布尼茨卒于汉诺威。
8. 为科学而疯的人——康托尔
康托尔(Cantor 1845-1918)，生于俄国彼得堡一丹麦犹太血统的富商家庭，10岁随家迁居德国，自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的 *** 论已被公认为全部数学的基础。
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷 *** ”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。
康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托尔的 *** 论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。
真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”大卫·希尔伯特说：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去“。可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世。
9.符号代数的先驱——韦达
韦达（FrancisVieta 1540—l603)，1540年生于法国普瓦图的丰特奈。早年学法律，曾在巴黎裁判所任律师。后以律师身份在地方议会供职。1580年任那瓦尔的亨利亲王的枢密顾问。工作之余，进行许多数学研究。在法国与西班牙战争期间，他曾破译西班牙作战机密，首次崭露数学才能，但却遭西班牙宗教裁判所缺席判决处以焚烧致死的极刑，幸未能执行。1584～1589年间，由于政治原因，韦达变成平民。于是他更加专心于数学研究，有时竟能几昼夜不眠。他是一位人文主义者，主张复古的意识很强。他还自费印刷、发行自己的著作。l603年12月13日在巴黎逝世。
韦达最突出的贡献是在符号代数方面。他系统地研读了卡丹、塔泰格利亚、蓬贝利、斯蒂文以及丢番图的著作，并从这些名家、尤其是从丢番图的著作中，获取了使用字母、缩写代数的思想方法，主张用“分析”这个术语来概括当时代数的知识内容和方法，而不赞成从 *** 承袭而来的algebra这个词。他创设了大量的代数符号，用字母代替本知数和未知数的乘幂，也用字母表示一般的系数，他的这套做法后继笛卡儿等人的改进，成为现代代数的形式。韦达把他的符号性代数称作“类的筹算术”，以区别所谓具体的所谓“数的筹算术”，从而指出了代数和算术的区别。他还系统地阐述并改进了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的重要关系，即韦达定理。从而，使当时的代数学系统化了，所以人们也称韦达为“西方代数学之父”。
10. 信仰“数即万物”的人——毕达哥拉斯
毕达哥拉斯(Pythagoras 公元前572—前497？)古希腊数学家、哲学家。无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了 *** 文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养，大约在公元前530年又返回萨摩斯岛。后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。
毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣。例如，把(除其本身以外)全部因数之和等于本身的数称为完全数(如6，28，496等)，而将本身大于其因数之和的数称为盈数；将小于其因数之和的数称为亏数。他们还发现了“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，西方人称之为毕达哥拉斯定理，我国称为勾股定理。当今数学上又有“毕达哥拉斯三元数组”的概念，指的是可作为直角三角形三条边的三数组的 *** 。
在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
毕达哥拉斯学派认为数最崇高，最神秘，他们所讲的数是指整数。“数即万物”，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。但是，有一个名叫希帕索斯的学生发现，边长为1的正方形，它的对角线(根2)却不能用整数之比来表达。这就触犯了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不准泄露存在根2(即无理数)的秘密。天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害。但根2很快就引起了数学思想的大革命。科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。希帕索斯为根2殉难留下的教训是：科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬。
可惜，朝气蓬勃的毕达哥拉斯，到了晚年不仅学术上趋向保守，而且政治上反对新生事物，最后死于非命。
11. 业余数学家之王——费马
17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马(Pierre de Fermat 1601—1665)。
这道题是这样的：当时，没有正整数解。在数学上这称为“费马大定理”。为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，但是300多年过去了。即使用现代的电子计算机也只能证明：当小于等于4100万时，费马大定理是正确的。由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他没有公布结果，于是留下数学难题中少有的千古之谜。1995年由英国数学家安得鲁-怀尔斯获得最终证明。
费马生于法国南部，在大学里学的是法律，以后以律师为职业，并被推举为议员。费马的业余时间全用来读书，哲学、文学、历史、法律样样都读。30岁时迷恋上数学，直到他64岁病逝，一生中有许多伟大的发现。不过，他极少公开发表论文、著作，主要通过与友人通信透露他的思想。在他死后，由儿子通过整理他的笔记和批注挖掘他的思想。好在费马有个“不动笔墨不读书”的习惯，凡是他读过的书，都有他的圈圈点点，勾勾画画，页边还有他的评论。他利用公务之余钻研数学，并且成果累累。后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非浅，赞誉他为“业余数学家之王”。
费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论——数论的发展方向。他还研究了掷骰子 *** 的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。
12. 天才数学家——阿贝尔
翻开近代数学的教科书和专门著作，阿贝尔这个名字是屡见不鲜的：阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性，等等。只有很少几个数学家能使自己的名字同近代数学中这么多的概念和定理联系在一起。然而这位卓越的数学家却是一个命途多舛的早夭者，只活了短短的27年。尤其可悲的是，在他生前，社会并没有给他的才能和成果予以公正的认可。
阿贝尔（Abel, NielsHanrik 1802—1829）挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛，1829年4月6日卒于弗鲁兰。 15岁时优秀的数学教师霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导。1821年阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，并未引起重视。
1825年，他去柏林，结识了克莱尔。他与施泰纳建议克莱尔创办了著名数学刊物《纯粹与应用数学杂志》。这个杂志头三卷发表了阿贝尔 22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。可惜，阿贝尔在欧洲大陆没有谋到合适的职位，1827年他贫困交迫地回到了挪威。一年以后，不到27岁的阿贝尔就病逝。
阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的创始人。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性、并引进了椭圆积分的反演。此外，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献。这些工作使他成为分析学严格化的推动者。
13.数学奇才——伽罗华
1832年5月30日晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点钟，他就离开了人世。数学史上最年轻、最有创造性的头脑停止了思考。人们说，他的死使数学发展推迟了好几十年。这个青年就是死时不满21岁的伽罗华。
伽罗华(Eacute;variste Galois 1811—1832)生于离巴黎不远的一个小城镇，父亲是学校校长，还当过多年市长。家庭的影响使伽罗华一向勇往直前，无所畏惧。1823年，12岁的伽罗华离开双亲到巴黎求学，他不满足呆板的课堂灌输，自己去找最难的数学原著研究，一些老师也给他很大帮助。老师们对他的评价是“只宜在数学的尖端领域里工作”。
1828年，17岁的伽罗华开始研究方程论，创造了“置换群”的概念和方法，解决了几百年来使人头痛的方程来解决问题。伽罗华最重要的成就，是提出了“群”的概念，用群论改变了整个数学的面貌。1829年5月，伽罗华把他的成果写成论文，递交法国科学院，但伴随着这篇杰作而来的是一连串的打击和不幸。先是父亲因不堪忍受教士诽谤而自杀，接着因他的答辩既简捷又深奥令考官们不满而未能进入著名的巴黎综合技术学校。至于他的论文，先是被认为新概念太多又过于简略而要求重写；第二份推导详尽的稿子又因审稿人病逝而下落不明；1831年1月提交的第三份论文又因评阅人不能全部看懂而被否定。
青年伽罗华一方面追求数学的真知，另一方面又献身于追求社会正义的事业。在1831年法国的“七月革命”中，作为高等师范学校新生，伽罗华率领群众走上街头， *** 国王的专制统治，不幸被捕。在狱中，他染上了霍乱。即使在这样的恶劣条件下，伽罗华仍然继续搞他的数学研究，并且写成了论文，准备出狱后发表。出狱不久，因为卷入一场无聊的“爱情”纠葛而决斗身亡。
伽罗华去世后16年，他留存下来的60页手稿才得以发表，科学界才传遍了他的名字。
14.非欧几何的创始人——罗巴切夫斯基
很早以前，许多数学家都尝试证明欧几里得几何学中的平行公理，但是直到19世纪以前并没有获得实质性的进展。1792年12月出生于俄国的罗巴切夫斯基(Nikolas lvanovich Lobachevsky 1792—1856)，于1816年将该公理的证明纳入自己的研究领域。
罗巴切夫斯基于1807年入喀山大学，1811年毕业并获硕士学位。毕业后留校任职，历任教授助理、常任教授、系主任、校长等职。1846年以后任喀山学区副督学，直至逝世。罗巴切夫斯基在尝试证明平行公理时发现以前所有的证明都无法逃脱循环论证的错误。于是，他作出假定：过直线外一点，可以作无数条直线与已知直线平行。如果这假定被否定，则就证明了平行公理。然而，他不仅没有能否定这个命题，而且用它同其他欧氏几何中与平行公理无关的命题一起展开推论，得到了一个逻辑合理的新的几何体系—非欧几里得几何学，这就是后来人们所说的罗氏几何。
罗氏几何的创立对几何学和整个数学的发展起了巨大的作用，但一开始并没有引起重视，直到罗巴切夫斯基去世后12年才逐渐被广泛认同。罗巴切夫斯基在数学分析和代数学方面也有一定成就。
15. 全能数学家——彭加勒
一位数学史权威评价彭加勒(Poincare 1854—1912)时说，他是“对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人”。20世纪以来，数学进入了多学科、高难度的现代阶段，要想达到每个领域的最高成就已经不可能，但彭加勒确实是他那个时代的数学全才。
一般数学划分为算术、代数、几何和分析四个领域，彭加勒对各个领域的研究成果，都是第一流的。他成功地解决了像太阳、地球、月亮间相互运动这一类的三体问题，他是现代物理的两大支柱——相对论和量子力学的思想先驱；他研究科学哲学提出的“约定着重分析了人类理性认识的基本法则”，日益受到当代哲学家的重视。在他从事科学研究的34年里，发表论文500篇，著作30多部，获得过法国、英国、俄国、瑞典、匈牙利等国家的奖赏。被聘为30多个国家的科学院院士。
1912年6月26日，彭加勒病逝前20天作了最后一次讲演，他说：“人生就是持续斗争。”彭加勒的一生就是斗争的一生。他因为小时候得过病，语言不够流畅，写字画图都有困难，还留下了喉头麻痹和身体虚弱的后遣症。不少人把他当作笨人。他成为数学家后，一位心理学家通过测验仍然认定他是“笨人”。
彭加勒取得成就的关键是注意力高度集中。他一生最大的嗜好就是读书，读书速度快，记忆准确持久。因为视力不好，书写困难，他上课不记笔记，全神贯注于听讲、思索、理解，长期的磨练，使他具备了运用大脑完成复杂运算，构思长篇论文的能力。1871年，17岁的彭加勒报考高等工业学校，轻松地解决了主考官特意为他设计的难题，尽管他的几何作图得了零分，学校也破格录取。1879年，25岁的彭加勒获数学博士学位，32岁任数学和物理学教授，以后在科学园里辛勤耕耘了26年。
16.工作到最后一天的华罗庚
1985年6月12日，在东京一个国际学术会议上，75岁的华罗庚教授用流利的英语，作了十分精彩的报告。当他讲完最后一句话，人们还在热烈鼓掌时，他的身子歪倒了。
华罗庚(1910—1985)出生于江苏省金坛县一个小商人家庭，从小喜欢数学，而且非常聪明。一天老师出了一道数学题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”“23！”老师的话音刚落，华罗庚的答案就脱口而出，老师连连点头称赞他的运算能力。可惜因为家庭经济困难，他不得不退学去当店员，一边工作，一边自学。18岁时，他又染上伤寒病，与死神搏斗半年，虽然活了下来，但却留下终身残疾——右腿瘸了。
1930年，19岁的华罗庚写了一篇《苏家驹之代数的五次方程不成立的理由》，发表在上海《科学》杂志上。清华大学数学系主任熊庆来从文章中看到了作者的数学才华，便问周围的人，“他是哪国留学的?在哪个大学任教?”当他知道华罗庚原来是一个19岁的小店员时，很受感动，主动把华罗庚请到清华大学。华罗庚在清华四年中，在熊庆来教授的指导下，刻苦学习，一连发表了十几篇论文，后来又被派到英国留学，获得博士学位。他对数论有很深的研究，得出了著名的华氏定理。
抗日战争时期，华罗庚白天在西南联大任教，晚上在昏暗的油灯下研究。在这样艰苦的环境中，华罗庚写出了20多篇论文和厚厚的一本书《堆垒素数论》。他特别注意理论联系实际，1958年以后，他走遍了20多个省市自治区，动员群众把优选法用于农业生产。记者在一次采访时问他：“你最大的愿望是什么?”他不加思索地回答：“工作到最后一天。”他的确为科学辛劳工作到最后一天，实现了自己的诺言。
