本
文
摘
要
前一篇文章介绍了三角形的内接圆和外切圆的位置与半径关系，导出了欧拉公式：
1R+d+1R−d=1r\frac{1}{R+d}+\frac{1}{R-d} = \frac{1}{r}\\
并指出，当两个圆的半径和圆心距满足上述公式时，可以有无数个三角形满足条件。
(参见：Geometrie：完美的双心多边形(一）)
然而对于一般的四边形，它不一定有外接圆，也不一定有内切圆。本文将介绍如何画出既有外接圆又有内切圆的四边形，并导出它的外接圆内切圆和半径的关系式。
双心四边形的构造
圆内接四边形和圆外切四边形并不难构造。先画出一个圆，在圆周上选四个点顺次连接，即可构成圆内接四边形。对圆作出四条切线作为边，构造四边形，即可构成圆外切四边形。
这个思路也可以延用在构造双心四边形上。以I为圆心，构造⊙I，在⊙I上找4个点EFGH，以这4点作为切点构造切线，它们构成的四边形ABCD自然有内切圆，如何确保它有外接圆呢？
把两组相对的切点EG和FH连起来，设它们交于点P，如果上边形ABCD有外接圆，则根据圆内接四边形的性质，有∠BAD + ∠DCB = 180°，然后分析这两个角所在的四边形AEPH和四边形CGPF。
根据弦切角的性质，有∠AEP = ∠DGP，∠AHP = ∠BFP，再根据∠DGP和∠CGP是邻补角，∠BFP和∠CFP是邻补角，有∠AEP + ∠CGP = 180°，∠AHP + ∠CFP = 180°。
根据四边形内角和定理，有：
∠AEP + ∠EPH + ∠PHA + ∠A = 360°
∠CGP + ∠GPF + ∠PFC + ∠C = 360°
两式相加，并对角度做适当组合：
(∠AEP + ∠CGP) + (∠EPH + ∠GPF) + (∠PHA + ∠PFC) + (∠A + ∠C) = 720°
利用前面导出的∠AEP + ∠CGP = 180°，∠PHA + ∠PFC = 180°，代入上式，有：
180° + (∠EPH + ∠GPF) + 180° + (∠A + ∠C) = 720°
化简得到：
(∠EPH + ∠GPF) + (∠A + ∠C) = 360°
再注意到∠EPH和∠GPF是对顶角，因而有∠EPH = ∠GPF，因此上式说明，∠A + ∠C = 180°等价于EG⊥FH，我们因此导出了双心四边形的构造方法：
以圆的两条垂直且相交的弦的端点为切点构造圆的4条切线，切线的交点构成双心四边形的顶点。
三角形中线的长度性质
要导出双心四边形的内切圆和外接圆的半径和位置关系，需要先导出三角形的中线长。在△ABC中，M是BC边的中点，需要导出AB，AC和BC边与中线AM的关系。
根据∠AMB和∠AMC的邻补角关系，有∠AMB + ∠AMC = 180°，因而有cos∠AMB + cos∠AMC = 0，
三角形中线的性质在△ABM和△ACM中分别使用余弦定理，有：
AM2+BM2−2AM⋅BMcos∠AMB=AB2AM2+CM2−2AM⋅CMcos∠AMC=AC2AM^2+BM^2 -2AM\cdot{}BM\cos\angle{AMB}=AB^2\\ AM^2+CM^2 -2AM\cdot{}CM\cos\angle{AMC}=AC^2
两式相加，并根据cos∠AMB + cos∠AMC = 0，即可导出：
AB2+AC2=2AM2+BM2+CM2AB^2 + AC^2 = 2AM^2+BM^2 + CM^2\\
利用这个式子和平行四边形两条对角线互相平分的性质，还可以导出平行四边形的一个性质：平行四边形的4条边长的平方和等于两条对角线的平方和。
双心四边形的内接圆与外接圆的半径与位置关系
设四边形ABCD有半径为R的外接圆⊙O和半径为r的内切圆⊙I，两圆的圆心距OI = d，为了推导两圆半径与圆心距的关系，设BC和CD与⊙I分别切于点S和点T，连接IS和IT，连接BI并延长交⊙O交于点M，连接DI并延长交⊙O于点N，连接MN和BN。
根据ABCD内接于⊙O，有∠ABC + ∠CDA = 180°，再根据I是四边形ABCD的内切圆的圆心，有BI平分∠ABC，CI平分∠CDA，因此，有：
∠CBI + ∠CDI = ∠ABC / 2 + ∠CDA / 2 = (∠ABC + ∠CDA) / 2 = 180° / 2 = 90°
根据∠NBC和∠NDC都对着弧NC，因而∠NBC = ∠NDC，由此导出：
∠NBM = ∠NBC + ∠CBM = ∠NDC + ∠CBM = ∠IDC + ∠CBI = 90°
这说明MN是⊙O的直径，它经过圆心O，且O平分MN，即在△IMN中，IO是MN边上的中线。
再根据S和T分别是BC边和CD边与⊙I的切点，有∠ISB = ∠DTI = 90°，因而∠DIT + ∠IDT = 90°。另一方面，∠IDT + ∠IBS = ∠CDI + ∠CBI = 90°，因而∠DIT = IBS，再加上∠DTI = ∠ISB，有△IBS∽△DIT，于是有：
BS / BI = IT / DI，再根据IS = IT，有BS/(IB·IT) = BS/(IB·IS) = 1/DI
双心四边形的外接圆与内切圆的半径和位置关系推导在△IBS中利用勾股定理，导出： BS2+IS2=IB2BS^2 + IS^2 = IB^2 ，两边除以 IB2⋅IS2IB^2\cdot{}IS^2 ，导出
(BSIB⋅IS)2+1IB2=1IS2\left(\frac{BS}{IB\cdot{}IS}\right)^2+\frac{1}{IB^2}=\frac{1}{IS^2}\\
因此有：
1IB2+1ID2=1r2\frac{1}{IB^2}+\frac{1}{ID^2}=\frac{1}{r^2}\\
分别在弦BM和CN上使用圆幂定理，有
BI⋅MI=DI⋅NI=R2−d2BI\cdot{}MI=DI\cdot{}NI=R^2-d^2\\
由此导出：
MI=R2−d2BINI=R2−d2DIMI = \frac{R^2-d^2}{BI}\\ NI = \frac{R^2-d^2}{DI}\\ 在△IMN中，根据IO是MN边上的中线，有2IO2+MO2+NO2=IM2+IN22IO^2 + MO^2 + NO^2 =IM^2 + IN^2 ，即 2R2+2d2=IM2+IN22R^2+2d^2=IM^2+IN^2\\ 利用前面导出的IM和IN的式子和BI和DI满足的关系式，有
2R2+2d2=IM2+IN2=(R2−d2IB)2+(R2−d2ID)2=(R2−d2)2(1IB2+1ID2)=(R2−d2)2r22R^2 + 2d^2 = IM^2 +IN^2 = \left(\frac{R^2-d^2}{IB}\right)^2+\left(\frac{R^2-d^2}{ID}\right)^2\\ =(R^2-d^2)^2\left(\frac{1}{IB^2}+\frac{1}{ID^2}\right)=\frac{(R^2-d^2)^2}{r^2}\\
把上式最左边写为 (R+d)2+(R−d)2=2R2+2d2(R+d)^2+(R-d)^2=2R^2+2d^2 ，右边的分子写为 (R+d)2(R−d)2(R+d)^2(R-d)^2 ，并在两边同除以 (R+d)2(R−d)2(R+d)^2(R-d)^2 ，即可导出：
1(R+d)2+1(R−d)2=1r2\frac{1}{(R+d)^2}+\frac{1}{(R-d)^2}=\frac{1}{r^2}\\
双心四边形的比例性质
双心四边形两条对角线的交点是一个很特殊的点，它的各个顶点到内切圆的切线长度与到对角线的距离之比是一个常数(如下图)。
双心四边形的比例性质在上图中，四边形ABCD是双心四边形，E, F, G和H分别是AB边，BC边，CD边和DA边与内切圆的切点，P是对角线AC与BD的交点上，则有：AEAP=BEBP=CGCP=DGDP\frac{AE}{AP}=\frac{BE}{BP} = \frac{CG}{CP} = \frac{DG}{DP}\\
要证明这个结论，需要引入圆外切四边形的布里安桑定理：圆外切四边形对边的切点连线经过对角线的交点(如下图)
布里安桑定理在上图中，ABCD是圆外切四边形，E, F, G和H分别是AB边，BC边，CD边和DA边与内切圆的切点，则对角线AC和BD，对边切点连线EG和FH，交于一点P。需要注意，布里安桑定理的成立并不需要四边形有外接圆。
圆锥曲线中的布里安桑定理是指“外切于圆锥曲线的六边形三条正对角线交于一点”。这里是一个特殊情况，即六边形退化为四边形的情况。圆锥曲线的布里安桑定理的证明需要用到解析几何知识。这里给一个在圆中的较为简洁的证明。
先作出圆外切四边形ABCD的对角线AC，并连接EG交于点P，延长EG到点J，使得CJ = CG，连接CJ(如下图)
布里安桑定理的证明根据弦切角∠AEG *** 切角∠DGE都夹着弧EG，因而有∠AEG = ∠DGE。再根据CG = CJ，有∠CGJ = ∠CJG。利用∠DGE和∠CGJ是对顶角，有∠DGE = ∠CGJ，由此导出：∠AEG = ∠EGD = ∠CGJ = ∠CJG
在△APE和△CPJ中，利用∠APE和∠CPJ是对顶角，有∠APE = ∠CPJ，再加上∠AEP = ∠AEG = ∠CJG = ∠CJP，有△AEP∽△CJP，因此有AP / CP = AE / CG。
同理，如果HF也把AC分成两部分，则它们的比值则是AH / CF，而根据切线长定理，有AE = AH，CG = CF，因此，EG和HF分割AC的比例相同，这意味着AC经过EG和HF的交点。
同理可证，BD也经过EG和HF的交点，因此，AC，BD，EG和HF四条线交于一点P。
有了这条性质，即可证明双心四边形的比例性质。ABCD是圆外切四边形，E, F, G和H分别是AB边，BC边，CD边和DA边与内切圆的切点，P是对角线AC和BD的交点，连接切点EG和HF，它们都经过点P(如下图)。
双心四边形比例性质的证明在上图中，根据弦切角∠BFH *** 切角∠AHF都夹着弧HF，因而有∠AHF = ∠BFH。再根据ABCD四点共圆，圆周角∠DAC和圆周角∠DBC都对着弧CD，因而有∠DAC = ∠DBC。
在△APH和△BPF中，有∠HAP = ∠DAC = ∠CBD = ∠FBP，∠AHP = ∠AHF = ∠BFH = ∠BFP，因此有△APH∽△BPF，于是有AH / AP = ∠BF / PB。
同理可证，AE / AP = DG / DP，DH / DP = CF / CP，以及CG / CP = BE / BP，再利用切线长定理，有AE = AH，BE = BF，CF = CG，DG = DH，因此有ABCD到内切圆的切线长度与到点P的切线长度之比为定值。
有趣的是，不仅双心四边形，对于任意的双心n边形，总会存在一点P，使得它所有的顶点到点P的距离与到内切圆的切线长度为定值，这个性质在后续文章中会用彭赛列闭合定理导出。
后续内容提要
双心四边形还有着更多的性质，包括对角线的交点，内切圆圆心和外接圆圆心三点共线。
要构造更复杂的双心多边形，需要利用彭赛列(Poncelet)闭合定理，根据这条定理，如果两个包含关系的圆，恰好存在一个n边形内接于外圆，且外切于内圆，则以外圆上任意一点作为起始顶点，可以构造出一个以这两圆为外接圆和内切圆的n边形。
彭赛列闭合定理的证明需要用到解析几何中的一些结论，下一篇将做出详细讨论(参见Geometrie：完美的双心多边形(三))。
