同心圆的二重积分怎么算（二重积分关于圆的计算）

第一个图的积分区域如上图所示，在区域内任取一点 A(x0,y0)A(x_0,y_0) ,我们不妨假设 0">y0>0y_0>0 ,那么我们都可以找到对应的点 B(x0,−y0)B(x_0,-y_0) ,二者关于x轴对称，且f(x0,y0)=x0y0=−f(x0,−y0)f(x_0,y_0)=x_0y_0=-f(x_0,-y_0) ,二重积分的几何意义是在积分区域内函数的体积，所以y>0时，体积为正，y<0时，体积为负，并恰好抵消,如下图。

而第二个图积分区域如下，并没有上述对称性。

但我们可以将积分区域补成一个正方形，如图

I(D1)=I(D2)I(D_1)=I(D_2) ,因为函数关于y=x直线对称，f(x0,y0)=x0y0=y0x0=f(y0,x0)f(x_0,y_0)=x_0y_0=y_0x_0=f(y_0,x_0) ,因此:

∬Dxydxdy=12∫01xdx∫01ydy=12(∫01xdx)2=18\displaystyle \iint_Dxydxdy=\frac{1}{2}\int_0^1xdx\int_0^1ydy=\frac{1}{2}(\int_0^1xdx)^2=\frac{1}{8}

类似的对称问题还有很多，也有很多巧妙的方法，多练习就好了，但先建议对二重积分本身的几何意义了解一下，这样能帮助理解二重积分的相关计算。