本
文
摘
要
3.1 分离变量
首先什么是微分方程呢？如果我们不知道一个函数y(x)的表达式，但是知道与x、y的一些关系，然后就能把y(x)的表达式求出来，这样的方程就叫作微分方程。 举个栗子，一个地方的人口越多，人口增长得就越快。我们建立一个简单的模型，设人口为y，时间为t，那么，a是一个比例系数。可以这样解这个方程：
（现在y在方程的一边，t在方程的另一边，这种方法叫做分离变量）
（两边同时积分，本来都有积分常量，但是只要写一个C，另一个可以移到对面）
其中，表示初始时的人口。如果初始时一个人都没有，以后当然不会有人出现。这就是高中生物课本上的J形增长曲线，所以生物学中很多图的纵坐标是数量的对数。
【练习】S形增长曲线满足，先猜一猜这个方程是什么意思，然后把它解出来。
只有是无法确定的，需要一个另外的条件才能确定，比如直接告诉你初始人口，也可以是一年后的人口。但是只要有一个条件，其他时候的人口就确定了，如果有更多的条件，就有可能自相矛盾（比如某些高中物理老师拍脑袋想出来的电磁感应题）。这种条件叫做边界条件。（有些地方把边界条件叫作初始条件，我自己也分不清楚）
积分常量没有确定的时候，微分方程的解叫做通解，而积分常量确定之后，微分方程的解叫做特解。上面这个方程中有 y 的一阶导数，所以叫做一阶微分方程。n阶微分方程需要 n 次积分才能解出来，通解有n个积分常量，需要n个边界条件才能确定特解。
话说有单位的东西叫作“量”，没有单位的东西叫作“数”，这件事情等到量纲分析再仔细讲。 悲剧的是，很多微分方程都是解不出来的（用初等函数表示）。就算能分离变量，接下来的积分也不一定能积出来。能用分离变量法解出来的都是一些最简单的微分方程，但是一般够用了，复杂的方法比如积分因子和花式换元法以后再讲。（← 有生之年）
