如何求非齐次微分方程的特解（微分方程的非齐次特解怎么求）

第13讲 非齐次方程特解求法

Finding Particular Solutions to Inhomogeneous ODEs

[微分方程][MIT]麻省理工公开课 (13)​v.youku.com/v_show/id_XNDg2ODI2MzQ0.html

二阶非齐次方程 y″+Ay′+By=f(x)\[y + Ay + By = f(x)\] ，其通解为 y=yp+yc=yp+c1y1+c2y2\[y = {y_p} + {y_c} = {y_p} + {c_1}{y_1} + {c_2}{y_2}\] ，本讲介绍如何求特解 。

若输入函数f(x)是简单指数函数，即 eax,sin⁡ωx,cos⁡ωx,eaxsin⁡ωx,eaxcos⁡ωx\[{e^{ax}},\sin \omega x,\cos \omega x,{e^{ax}}\sin \omega x,{e^{ax}}\cos \omega x\] 这类可以写成e(a+iω)x=eαx\[{e^{(a + i\omega )x}} = {e^{\alpha x}}\] 的函数，我们有办法求解，即利用代换法求解。

对于方程 (D2+AD+B)y=f(x)\[({D^2} + AD + B)y = f(x)\] ，记多项式算子为P(D)=D2+AD+B\[P(D) = {D^2} + AD + B\] ，则 P(D)eαx=P(α)eαx\[P(D){e^{\alpha x}} = P(\alpha ){e^{\alpha x}}\] 。

证明： (D2+AD+B)eαx\[({D^2} + AD + B){e^{\alpha x}}\] =D2eαx+ADeαx+Beαx\[{\rm{ = }}{D^2}{e^{\alpha x}} + AD{e^{\alpha x}} + B{e^{\alpha x}}\]

=α2eαx+Aαeαx+Beαx\[{\rm{ = }}{\alpha ^2}{e^{\alpha x}} + A\alpha {e^{\alpha x}} + B{e^{\alpha x}}\]=P(α)eαx\[{\rm{ = }}P(\alpha ){e^{\alpha x}}\]

指数输入定理：

微分方程 y″+Ay′+By=eαx\[y + Ay + By = {e^{\alpha x}}\] 有特解 y=eαxP(α)\[y = \frac{{{e^{\alpha x}}}}{{P(\alpha )}}\] （P(α)≠0\[P(\alpha ) \ne 0\] ）。

证明：将 y=eαxP(α)\[y = \frac{{{e^{\alpha x}}}}{{P(\alpha )}}\] 代入方程P(D)y=P(D)eαxP(α)=eαx\[P(D)y = \frac{{P(D){e^{\alpha x}}}}{{P(\alpha )}} = {e^{\alpha x}}\] ，等式成立。

例： y″−y′+2y=10e−xsin⁡x\[y - y + 2y = 10{e^{ - x}}\sin x\]

将输入函数写成复指数的虚部10e−xsin⁡x=Im(10e(−1+i)x)\[10{e^{ - x}}\sin x{\rm{ = Im(}}10{e^{( - 1 + i)x}})\] ，则方程变为复化方程： (D2−D+2)y~=10e(−1+i)x\[({D^2} - D + 2)\tilde y = 10{e^{( - 1 + i)x}}\] 。

y~p=10e(−1+i)x(−1+i)2−(−1+i)+2=10e(−1+i)x3−3i=103(1+i)e(−1+i)x2\[{\tilde y_p}{\rm{ = }}\frac{{10{e^{( - 1 + i)x}}}}{{{{( - 1 + i)}^2} - ( - 1 + i){\rm{ + }}2}} = \frac{{10{e^{( - 1 + i)x}}}}{{3 - 3i}} = \frac{{10}}{3}\frac{{(1 + i){e^{( - 1 + i)x}}}}{2}\]

yp=Im(y~p)=53e−x(cos⁡x+sin⁡x)=53e−x2cos⁡(x−π4)\[{y_p} = {\mathop{\rm Im}\nolimits} ({\tilde y_p}) = \frac{5}{3}{e^{ - x}}(\cos x + \sin x) = \frac{5}{3}{e^{ - x}}\sqrt 2 \cos (x - \frac{\pi }{4})\]

若 P(α)=0\[P(\alpha ) = 0\] ，应用指数移位法则： P(D)eaxu(x)=eaxP(D+a)u(x)\[P(D){e^{ax}}u(x) = {e^{ax}}P(D + a)u(x)\] 。

例如 P(D)=D\[P(D) = D\] ，则 Deaxu=eaxDu+aeaxu=eax(Du+au)=eax(D+a)u\[D{e^{ax}}u = {e^{ax}}Du + a{e^{ax}}u = {e^{ax}}(Du + au) = {e^{ax}}(D + a)u\] 。

例如 P(D)=D2\[P(D) = D^2\] ，则有 D2eaxu=D(Deaxu)=D(eax(D+a)u)=eax(D+a)[(D+a)u]\[{D^2}{e^{ax}}u = D(D{e^{ax}}u) = D({e^{ax}}(D + a)u) = {e^{ax}}(D + a)[(D + a)u]\] ，即D2eaxu=eax(D+a)2u\[{D^2}{e^{ax}}u = {e^{ax}}{(D + a)^2}u\] 。

(D2+AD+B)y=eαx\[({D^2} + AD + B)y = {e^{\alpha x}}\] ，若P(α)=0\[P(\alpha ) = 0\] ，且a不是重根。特解 yp=xeαxP′(α)\[{y_p} = \frac{{x{e^{\alpha x}}}}{{P(\alpha )}}\] 。

若 P(α)=0\[P(\alpha ) = 0\] ，且a是重根。特解 yp=x2eαxP″(α)\[{y_p} = \frac{{{x^2}{e^{\alpha x}}}}{{P(\alpha )}}\] 。

特解公式实际上可以用洛必达法则得到， limα→α0⁡y=eαx−eα0xP(α)=xeα0xP′(α0)\[\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {\alpha _0}} y = \frac{{{e^{\alpha x}} - {e^{{\alpha _0}x}}}}{{P(\alpha )}} = \frac{{x{e^{{\alpha _0}x}}}}{{P({\alpha _0})}}\] ，注意分式的分子分母都对a求导，而不是对x求导。为了凑成0/0的形式，在分子中加入了一个齐次解，下一讲中会看到应用这一方法的例子。

证明：非重根条件下， P(D)=(D−b)(D−a)\[P(D) = (D - b)(D - a)\] ，满足特征方程的两个根 b≠a\[b \ne a\] ，则有P′(D)=(D−b)+(D−a)\[P(D) = (D - b) + (D - a)\] ， P′(a)=a−b\[P(a) = a - b\] 。

将特解的解析式代入微分方程进行运算：

P(D)xeaxP′(a)\[P(D)\frac{{x{e^{ax}}}}{{P(a)}}\]=eaxP(D+a)xP′(a)\[ = {e^{ax}}P(D + a)\frac{x}{{P(a)}}\]

（用D+a替换D P(D)=(D−b)(D−a)→\[P(D) = (D - b)(D - a) \to \] P(D+a)=(D+a−b)D\[P(D + a) = (D + a - b)D\] )

=eax(D+a−b)DxP′(a)\[ = {e^{ax}}(D + a - b)D\frac{x}{{P(a)}}\]

(Dx=1, (D+a−b)1=a−b\[(D + a - b)1 = a - b\] )

=eaxa−ba−b=eax\[ = {e^{ax}}\frac{{a - b}}{{a - b}} = {e^{ax}}\]

教授在这里用算子进行推演，主要是让大家熟悉用算子进行运算，如果实在蒙住了，可以试着代入y″−(b+a)y′+aby=eax\[y - (b + a)y + aby = {e^{ax}}\] 。

例： y″−3y′+2y=ex\[y - 3y + 2y = {e^x}\]

特征方程 α2−3α+2=0\[{\alpha ^2} - 3\alpha + 2 = 0\] 有一个根是1，且a=1不是重根。因此特解为 yp=xexp′(α)=xex2α−3=−xex\[{y_p} = \frac{{x{e^x}}}{{p(\alpha )}} = \frac{{x{e^x}}}{{2\alpha - 3}} = - x{e^x}\] 。代入可验证结果。