求二阶常系数非齐次线性微分方程通解（二阶常系数非齐次线性微分方程特解系数）

二阶线性微分方程其实可以通过凑微分降阶法求解，但过程略微复杂，不过相应的过程却能充分体现分离变量法。

值得一提的是，一阶线性微分方程所谓常数变易法可以用积分因子法替代，即对下面的方程

xt′+p(t)x=q(t)x_t+p(t)x=q(t)

两边同乘一个 e∫p(t)dt\text{e}^{\int{p(t)\text{d}t}}，得到一个乘法导数的形式，即

xt′e∫p(t)dt+p(t)e∫p(t)dtx=q(t)e∫p(t)dtx_t\text{e}^{\int{p(t)\text{d}t}}+p(t)\text{e}^{\int{p(t)\text{d}t}}x=q(t)\text{e}^{\int{p(t)dt}}

把 xe∫p(t)dtx\text{e}^{\int{p(t)\text{d}t}}当作一个变量，就可实现分离变量。

下面就说一下二阶常系数线性微分方程的凑微分降阶法，我们首先来看二阶常系数线性微分方程的特征方程的求解方法之因式分解法，而所对应的因式分解法是拆项分组分解法（十字交叉法），如果方程的两根（复数根，当虚部为零时即实数根）是r1r_1和r2r_2 ，那么一元二次方程可以表示成

r2−(r1+r2)r+r1r2=0r^2-(r_1+r_2)r+r_1r_2=0

以该方程为特征方程的二阶常系数线性微分方程是

xt″−(r1+r2)xt′+r1r2x=f(t)x_t-(r_1+r_2)x_t+r_1r_2x=f(t)

对这个一元二次方程的左边进行因式分解，但不要写成两个整式相乘的形式，即

r2−r1r−r2r+r1r2=0r^2-r_1r-r_2r+r_1r_2=0

r⋅(r−r1)−r2⋅(r−r1)=0r\cdot(r-r_1)-r_2\cdot(r-r_1)=0

对应于二阶常系数线性微分方程，其中的一阶项也可以拆分，得到

xt″−r1xt′−r2xt′+r1r2x=f(t)x_t-r_1x_t-r_2x_t+r_1r_2x=f(t)

写到这里，解释一下为什么刚才不把对一元二次方程的左边的因式分解做完的原因。如果是一元二次方程这样的代数方程，二次就是两个相同的未知数相乘，所以我们可以提取出相同的公因式，但对于常系数二阶线性微分方程来说，二阶不是一阶与一阶相乘，而是对一阶又求了一阶导数，因此微分方程左边前两项可以看成是一个新的函数的导数，这个新的函数就是x′−r1xx-r_1x，而后两项则和一元二次方程一样，可以提取出公因式−r2-r_2，剩下的因式正好就是刚刚提到的新的函数，也就是x′−r1xx-r_1x ，这样原微分方程就化为

(xt′−r1x)t′−r2⋅(xt′−r1x)=f(t)(x_t-r_1x)_t-r_2\cdot(x_t-r_1x)=f(t)

这时候二阶线性微分方程其实已经变成了一阶线性微分方程，按照分割线之前所说的方法，两边同乘e−r2t\text{e}^{-r_2t} ，左边就得到了e−r2t⋅(x′−r1x)\text{e}^{-r_2t}\cdot(x-r_1x) 关于 tt 的导数，接下来就可以直接通过分离变量，积分，求出函数 x′−r1xx-r_1x的解析式，得到

xt′−r1x=er2t⋅(∫e−r2tf(t)dt)+Cer2tx_t-r_{1}x=\text{e}^{r_{2}t}\cdot\left(\int{\text{e}^{-r_{2}t}}f(t)\text{d}t\right)+C\text{e}^{r_{2}t}

注意不能丢掉带任意常数的那一项，而接下来就是解一阶线性微分方程的事情了，最后的计算结果是

x=er1t⋅(∫e(r2−r1)t⋅(∫e−r2tf(t)dt)dt)+C1er2t+C2er1tx=\text{e}^{r_{1}t}\cdot\left(\int{\text{e}^{(r_{2}-r_{1})t}\cdot\left(\int{\text{e}^{-r_{2}t}f(t)\text{d}t}\right)\text{d}t}\right)+C_{1}\text{e}^{r_{2}t}+C_{2}\text{e}^{r_{1}t}

这个过程实际上可以说是真正的求解微分方程的过程，而不是通过解的定理套出解的过程。然而它的特点就是相对来说比较麻烦，但它是最能体现微分方程求解的方法——分离变量法。

这个结果的最后两项之和就是齐次线性方程的通解，而第一项就是非齐次方程的特解，按照对应的非齐次项的形式通过求积分就可以得出非齐次的特解的形式，而之后就会对各种非齐次项对应的特解的印象较为深刻一些了。

原回答这里介绍的是当特征值为一对虚根（复根）的时候的情形，当时我用的是添加和三角函数有关项的方法，但这一方法需要面对正切定义域的问题，所以我删了，大家还是用上述方法解二阶常系数线性微分方程即可，最后处理结果的时候使用欧拉公式。

下面我推导一下当特征方程的两个实根相等的情形，这时二阶常系数线性方程组可化为

xt″−2rxt′+r2x=f(t)x_t-2rx_t+r^2x=f(t)

展开，化为一阶线性微分方程形式，得

(xt′−rx)t′−r⋅(xt′−rx)=f(t)(x_t-rx)_t-r\cdot(x_t-rx)=f(t)

解关于

xt′−rxx_t-rx 的一阶线性微分方程

e−rt⋅(xt′−rx)t′−re−rt⋅(xt′−rx)=f(t)e−rt\text{e}^{-rt}\cdot(x_t-rx)_t-r\text{e}^{-rt}\cdot(x_t-rx)=f(t)\text{e}^{-rt}

(e−rt⋅(xt′−rx))t′=f(t)e−rt\left(\text{e}^{-rt}\cdot(x_t-rx)\right)_t=f(t)\text{e}^{-rt}

e−rt⋅(xt′−rx)=∫f(t)e−rtdt+C\text{e}^{-rt}\cdot(x_t-rx)=\int f(t)\text{e}^{-rt}\text{d}t+C

xt′−rx=ert∫f(t)e−rtdt+Certx_t-rx=\text{e}^{rt}\int f(t)\text{e}^{-rt}\text{d}t+C\text{e}^{rt}

再解这个关于 xx 的一阶线性微分方程

e−rtxt′−re−rtx=erte−rt∫f(t)e−rtdt+Certe−rt=∫f(t)e−rtdt+C\text{e}^{-rt}x_t-r\text{e}^{-rt}x=\text{e}^{rt}\text{e}^{-rt}\int f(t)\text{e}^{-rt}\text{d}t+C\text{e}^{rt}\text{e}^{-rt}=\int f(t)\text{e}^{-rt}\text{d}t+C

(e−rtx)t′=∫f(t)e−rtdt+C\left(\text{e}^{-rt}x\right)_t=\int f(t)\text{e}^{-rt}\text{d}t+C

e−rtx=∫(∫f(t)e−rtdt)dt+Ct+C2\text{e}^{-rt}x=\int\left(\int f(t)\text{e}^{-rt}\text{d}t\right)\text{d}t+Ct+C_2

记

C1=CC_1=C ，则

x=ert∫(∫f(t)e−rtdt)dt+C1tert+C2ertx=\text{e}^{rt}\int\left(\int f(t)\text{e}^{-rt}\text{d}t\right)\text{d}t+C_1t\text{e}^{rt}+C_2\text{e}^{rt}

如果用具体的方程形式，代入求解的话，就会在解出通解形式的时候发现所对应的特解的形式。正因为上述方法是尝试使用分离变量法解方程，因此显得复杂一些，不过求初值问题的特解的时候可以直接使用定积分即可。而使用预设特解的方法，只需要根据导数和微分方程待定系数即可，相对来说过程并不是很繁琐。如果对书中预设的特解不理解的话，可以通过这种方法自行推导预设特解。