正方体11种展开方式图片手抄报（正方体11种展开方式图片高清）

引

问：正方体的平面展开图有多少种？

答：11种。

关于正方体展开图相信大家在小学的时候就有接触过相关问题，「11」这个结论往往老师一带而过，似乎这只是一个动手验证的结果，并不值得深思。

但如果真要深究下去，为什么偏偏是这11种？真的没有第12种展开图了吗？凸黄金多面体为何只有五种除了用计算机穷举的方法之外，有没有严格的数学证明呢？

铺垫

我们在曾经的文章《围棋中的数学原理（一）》中接触过关于图论的基础概念，接下来我们再引入一些更方便的代数工具，用来刻画图（本文我们只关注简单无向图）。

任意一个图有如下代数表示，我们称之为邻接矩阵：先给图G(V,E)G(V,E)的顶点标号，一个矩阵A=(aij)A=(a_{ij})的第ii行第jj列的元素aija_{ij}表示第ii个顶点与第jj个顶点是否存在一条边eij∈Ee_{ij}\in E相连，若存在，则aij=1a_{ij}=1，否则aij=0.a_{ij}=0. 标号方式不同，邻接矩阵固然不同，但它们彼此都是等价的（只需要交换若干次第ii行和第jj行，以及第ii列和第jj列，两个彼此等价的邻接矩阵会相互转换，想想为什么）。

例如一条长度为2的道路∙−∙−∙\bullet -\bullet-\bullet，我们不妨从左到右依次给各个顶点标号为1、2、3，于是它的邻接矩阵是

A=(010101010).A=\left( \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0 \end{array} \right).\\

我们在邻接矩阵的基础上稍微加工，就会得到：

Δ:=diag(deg⁡vi)−A\Delta :=\text{diag}(\deg v_i)-A \\

我们称之为图GG的Laplace矩阵。上例中各点的度数为：

deg⁡v1=1,deg⁡v2=2,deg⁡v3=1.\deg v_1=1,\quad \deg v_2=2,\quad \deg v_3=1. \\

于是∙−∙−∙\bullet -\bullet-\bullet的Laplace矩阵为：

Δ=(121)−(010101010)=(1−10−12−10−11).\Delta=\left( \begin{array}{ccc} 1&&\\ &2&\\ &&1 \end{array} \right)-\left( \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rrrr} 1&-1&0\\ -1&2&-1\\ 0&-1&1 \end{array} \right).\\

证明概要

每一个正方体展开图都是通过沿着正方体的7条棱切割得到的。所以问题的关键在于讨论切割图（切割经过的顶点和边所形成的图）的种类数。

由于平面展开图的边界是连通的，所以切割图也是连通的；另外切割中绝不可能出现环路，否则展开图的一部分就和主体断开了，我们所谓的展开图必须是连通的。连通且无环的图我们称之为树。并且，展开图的边界经过正方体的全部顶点，于是切割图也经过全部顶点。一个图GG的子图TT是树，若TT经过GG的全部顶点，我们称TT是GG的生成树，或支撑树。

于是切割图一定是正方体的生成树Σ\Sigma.

图片来源于byoshovel的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/310424939/answer/583733121

我们先回答一个基本又关键的问题：切割树究竟有多少个？

我们不加证明地引入——

Kirchhoff 矩阵-树定理 图GG的生成树 ***

Σ\Sigma的元素个数等于

|Σ|=|detΔ−|.|\Sigma|=|\det \Delta^-|.\\

其中Δ−\Delta^-表示Δ\Delta任意的(n−1)×(n−1)(n-1)\times (n-1)主子式，即去掉第ii行第

ii列后剩下的子式。

如上图写出正方体的邻接矩阵

A=[0101100010100100010100101010000110000101010010100010010100011010].A=\left[ \begin{array}{rrrr} 0&1&0&1&1&0&0&0\\ 1&0&1&0&0&1&0&0\\ 0&1&0&1&0&0&1&0\\ 1&0&1&0&0&0&0&1\\ 1&0&0&0&0&1&0&1\\ 0&1&0&0&1&0&1&0\\ 0&0&1&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&1&1&0&1&0\\ \end{array} \right]. \\

由于正方体每个顶点都与3条棱连接，故其Laplace矩阵

Δ=[3−10−1−1000−13−100−1000−13−100−10−10−13000−1−10003−10−10−100−13−1000−100−13−1000−1−10−13].\Delta=\left[ \begin{array}{rrrr} 3&-1&0&-1&-1&0&0&0\\ -1&3&-1&0&0&-1&0&0\\ 0&-1&3&-1&0&0&-1&0\\ -1&0&-1&3&0&0&0&-1\\ -1&0&0&0&3&-1&0&-1\\ 0&-1&0&0&-1&3&-1&0\\ 0&0&-1&0&0&-1&3&-1\\ 0&0&0&-1&-1&0&-1&3\\ \end{array} \right]. \\

于是去掉最后一行、最后一列后，我们计算其行列式

detΔ−=384.\det \Delta^-=384. \\

#R语言 A1<-c(0,1,0,1,1,0,0,0) A2<-c(1,0,1,0,0,1,0,0) A3<-c(0,1,0,1,0,0,1,0) A4<-c(1,0,1,0,0,0,0,1) A5<-c(1,0,0,0,0,1,0,1) A6<-c(0,1,0,0,1,0,1,0) A7<-c(0,0,1,0,0,1,0,1) A8<-c(0,0,0,1,1,0,1,0) A<-c(A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8) A<-matrix(A,8,8,TRUE) #邻接矩阵 A > A [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [1,] 0 1 0 1 1 0 0 0 [2,] 1 0 1 0 0 1 0 0 [3,] 0 1 0 1 0 0 1 0 [4,] 1 0 1 0 0 0 0 1 [5,] 1 0 0 0 0 1 0 1 [6,] 0 1 0 0 1 0 1 0 [7,] 0 0 1 0 0 1 0 1 [8,] 0 0 0 1 1 0 1 0 Lap <- diag(rep(3,8))-A #Laplace矩阵 det(Lap[-8,][,-8]) #去掉第8行第8列，并求其行列式 >[1] 384 !! 结论1 正方体的支撑树共有384个。

也就是说，我们所要寻找的正方体展开图的个数的上限是384，而这384种情况中，有大量在对称意义下的等价的情况，我们需要计算究竟有多少个等价类，这是我们所追求的答案。

首先要明白我们是在什么对称意义下讨论——考虑正方体的等距对称群。从几何的角度而言，正方体有以下对称方式：

旋转类 从左到右依次记为Rot1，Rot2，Rot3.反射类 从左到右依次记为Ref1，Ref2.

这些对称变换可以相互叠加使用，就像是整数的加法一样，它们都是数学上的群。立方体等距对称群G=Isom(C)G=\text{Isom}(\mathcal{C})的代数表示为

Isom(C)=S4×Z2.\text{Isom}(\mathcal{C})=S_4\times \mathbb{Z}_ 2. \\

如果两棵生成树通过以上对称方式可以重合，我们就认为两者等价，或者换一种说法，两者处于群变换的同一轨道。我们设想任意一棵生成树，在以上全体变换下，演化出种种与之对称的情况，形成一个「轨道」，而不等价的树彼此形成的轨道彼此分离，否则两者处于同一轨道。于是我们的问题的答案正是轨道数。

而计算轨道数也有现成的公式，我们同样不加证明引入——

Burnside 引理 群GG作用在 ***

XX上，所形成的轨道数为：

Orb(X)=1|G|∑g∈G|Fix(g)|.\text{Orb}(X)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|\text{Fix}(g)|. \\

其中

Fix(g):={x∈X|xg=x}⊆X\text{Fix}(g):=\{x\in X\ |\ x^g=x\} \subseteq X \\

即在变换

gg作用下保持不变的元素的 *** 。

Burnside引理是计数原理的基石。

如今我们让正方体的等距变换群G=Isom(C)G=\text{Isom}(\mathcal{C})作用于正方体的生成树 *** X=ΣX=\Sigma，由抽象代数的知识可知|G|=|S4×Z2|=48|G|=|S_4\times \mathbb{Z}_ 2|=48，所以最终的问题全部聚焦于如何计算|Fix(g)||\text{Fix}(g)|——在gg作用下不变的树的个数，这是问题的难点。

所幸对于正方体的等距变换群Isom(C)\text{Isom}(\mathcal{C})而言，大多数|Fix(g)|=0|\text{Fix}(g)|=0，当然经过了数学家Richard Goldstone和Robert Suzzi Valli(2016)[1]一系列严格的证明，证明过程我们略去，直接说结论：

!! 结论2 拥有不变树的变换只有两种：1. 关于对棱中点连线旋转180度（Rot2）；2. 关于过四条平行棱中点的平面的反射（Ref2）.

另外还有一个关键性的结论——

!! 结论3 不考虑恒等变换，上面两种变换Rot2、Ref2的不变树中都有且仅有一条不动边，并且将这个边反转，即设e=vivje=v_iv_j，

g∈Rot2, Ref2g\in \text{Rot2, Ref2}，则

eg=e=vjvi.e^g=e=v_jv_i.\\

注意变换Rot2和Ref2本身的不动边不仅仅只有一条（分别是2条、4条）。

于是我们采用逐渐生长的策略：选取一个不动边，对于ρ0∈\rho_0\inRot2而言有2种选择方式（×2\times 2），对于φ0∈\varphi_0\inRef2而言有4种选择（×4\times 4）；然后依照这两种变换，逐渐选取新的边、以及经过变换后的边，直到形成一棵生成树为止。

空心圆圈表示生长「发芽」之处

于是可得

|Fix(φ0)|=4×4=16,|Fix(ρ0)|=8×2=16.\begin{array}{lll} |\text{Fix}(\varphi_0) |=4\times 4=16,\\ \\ |\text{Fix} (\rho_0)|=8\times 2=16.\\ \end{array} \\

由于对称性，像ρ0\rho_0变换群Rot2有12/2=612/2=6个变换；φ0\varphi_0变换群Ref2有12/4=312/4=3个变换。最后我们带入Burnside 引理的计算公式：

Orb(X)=1|G|∑g∈G|Fix(g)|=1|G|(|Fix(id)|+|Fix(Rot2)|+|Fix(Ref2)|)=148(384+6×16+3×16)=11.\begin{array}{llll} \text{Orb}(X)&\\ =\cfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|\text{Fix}(g)|\\ =\cfrac{1}{|G|}(|\text{Fix}(id)|+|\text{Fix}(\text{Rot2})|+|\text{Fix}(\text{Ref2})|) \\ =\cfrac{1}{48}(384+6\times 16+3\times 16)\\=11. \end{array} \\

参考文献

[1] Richard Goldstone and Robert Suzzi Valli(2016), unfoldings of the cube, arXiv:1604.05004 [math.GR].

[2] S.Axler, F.W. Gehring and K.A. Ribert, Algebraic Graph Theory.

为什么正方体有十一种展开图？ 我老早以前写的回答，当时我还很稚嫩。方法很初等，也很简洁，只是我一直觉得可能不太严谨。