本
文
摘
要
有一些小伙伴学习求极限的方法之后，总会想到一些“聪明”的法子。但这些看似聪明的法子，其实却是错误的。老黄要利用一道求极限的例题，和大家唠唠求极限最常见的错误求法中的三种。
求lim(x→0)(xe^x-ln(1+x))/x^2 .
错误的解法： lim(x→0) (xe^x-ln(1+x))/x^2 =lim(x→0) (e^x/x-ln(1+x)/x^2 )
=lim(x→0) (e^x/x-1/x)=lim(x→0) (e^x-1)/x=lim(x→0)e^x=1.
相信很多小伙伴都能看出，上面的解法是错误的，但具体错在哪里，恐怕能够明确错误原因的小伙伴就不多了。如果不能明确错误的原因，就有可能在其它地方，犯同样的错误哦。
(1)很明显的，在把分式拆分成两个分式的差的这一步就错了。分式并非不能拆成两个分式的和或差，只是拆分是有条件的。
将分式拆分成两个分式的和差，相当于将一个极限拆分成两个极限的和差，只有在两个极限都存在时，才能进行拆分。如果像这道题，拆分后两个极限都不存在，因为它们都是趋于无穷大的，那么拆分的结果就极有可能出错，也不是说，一定会出错，但不出错的概率是极低的，就算不出错，这样的做法也是不合理的。如果拆分后，一个极限存在，一个极限不存在，那就肯定会 *** 。
(2)如果跳过中间步骤，由lim(x→0) (xe^x-ln(1+x))/x^2 =lim(x→0) (e^x-1)/x，可以看到，其中包含了一步“局部等阶无穷小替换”，这也是很多小伙伴容易出错的。局部等价无穷小替换也并非绝对不允许。只是那是要在对求极限的方法都通透的情况下，才可以运用的方法。其运用条件是非常苛刻的。一般的情况下，只有因式才能进行等阶无穷小替换。
最要命的是，上面这两种错误的方法，在某些特定的条件下，又是可以运用的，这更容易造成一些小伙伴们的错误运用。因为如果看到教材中有类似的应用，很多人就会误以为，这种运用是具有普遍性的。因此两种错误求法也就成了普遍存在的错误求法了。
下面我们来看这个极限的正确求法，同时指出求极限的第三种常见的错误求法。
解： lim(x→0) (xe^x-ln(1+x))/x^2 =lim(x→0) ((1+x)e^x-1/(1+x))/2x【直接运用洛必达法则，虽然有点烦琐，但目前老黄没有找到更好的解法。有些小伙伴，可能会在这里部分代入x=0，比如，把1/(1+x)写成1。而这就是第三种常见的错误解法了】
=lim(x→0) ((2+x) e^x+1/(1+x)^2 )/2= 3/2. 【这个极限需要运用两次洛必达法则，然后得到一个在x=0连续的函数极限，这时就可以将x=0代入极限求得最后的结果了】
综上，求极限最常见的三种错误解法包括：(1)随便拆分极限；(2)局部运用无穷小量等价替换；(3)部分代入自变量。平时在求极限时，可千万不要出现这些错误哦。
