极限趋于1怎么求值（数分求极限的方法及例题）

总结了一下一些常见的一些求函数/数列极限值的方法，欢迎指正，补充。

本文大量参考裴礼文所著《数学分析中的典型问题与方法》。

1.定义法

即用 ϵ−δ\epsilon-\delta 语言或 ϵ−N\epsilon-N 语言描述极限值。

有些题目会要求用定义法证明极限。

1.1 ϵ−N\epsilon-N

要证 limn→∞xn=A\lim_{n\to \infty}x_n=A ，按照定义， 0,\exists N>0,(\forall n>N,|x_n-A|<\epsilon)">∀ϵ>0,∃N>0,(∀n>N,|xn−A|<ϵ)\forall \epsilon>0,\exists N>0,(\forall n>N,|x_n-A|<\epsilon) 。

其实就是要根据 ϵ\epsilon 找出 NN 。

常用的方法主要有等价代换法，放大法（放缩法），分步法。

等价代换法就是根据

放大法即进行放缩，找一个 |xn−A|≤H(n)|x_n-A|\le H(n) ，解不等式

分步法即是先假定 N_1">n>N1n>N_1 ，此时有 |xn−A|≤H(n)|x_n-A|\le H(n) 成立，解不等式

1.2 ϵ−δ\epsilon-\delta

与 ϵ−N\epsilon-N 大同小异，同样可以运用上述方法，只是在具体表述上有一些差别。

1.3 拟合法

有时 |xn−A||x_n-A| 不易化简，我们可以把 AA 拆成与 xnx_n 相似的形式，以求化简。

例： xn=∑i=1nsin⁡(2i−1n2A)x_n=\sum_{i=1}^{n}\sin(\frac{2i-1}{n^2}A) ，求证 0)">limn→∞xn=A(A>0)\lim_{n\to \infty}x_n=A(A>0) 。

解法：利用 A=∑i=1n2i−1n2AA=\sum_{i=1}^n\frac{2i-1}{n^2}A 对|xn−A||x_n-A| 进行变形后处理。

2.初等变换，四则运算法则，连续性

这三个做法经常综合使用，就放在一起说了。

常用的初等变换技巧有裂项，分子/分母有理化，以及对三角函数的一些处理。

四则运算法则即为 limn→∞(xn⊗yn)=(limn→∞xn)⊗(limn→∞yn)\lim_{n\to \infty}(x_n\otimes y_n)=(\lim_{n\to \infty}x_n)\otimes (\lim_{n\to \infty}y_n) ，其中⊗\otimes 可以为加减乘除或指数运算，除法要求分母不为 00 ，指数运算要求底数为正。

需要指出，可以归纳地推出这个法则对于有限项极限值的运算都成立，但对于无限项不一定成立，如无穷多个无穷小量之和之积都可以不为 00 。

连续性是指对于连续函数 f(x)f(x) ，当f(x0)f(x_0) 存在时，有 limx→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) 。

3.利用已知极限

两个重要极限： limx→0sin⁡xx=1,limx→∞(1+1x)x=e\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\lim_{x\to \infty}(1+\frac1x)^{x}=e 。

调和级数： limn→∞∑i=1n1i=ln⁡n+γ\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n \frac 1 i =\ln n+\gamma ，其中γ≈0.577\gamma \approx 0.577 ，即欧拉常数。

Stirling 公式：

在分子，分母中多项式中的单项不可代换（即涉及加减法时）。结合 Taylor 公式不难理解。

5.夹逼准则及其推广形式

若 ∀n∈N+,an≤xn≤bn,limn→∞an=limn→∞bn=A\forall n\in \mathbb N_+,a_n\le x_n\le b_n,\lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}b_n=A ，则limn→∞xn=A\lim_{n\to \infty}x_n=A 。

推广形式：若 an,bna_n,b_n 的极限值不等，但只相差一个任意小量，该准则依然有效。这条性质可利用上下极限证明得到。

6.Taylor 展开

常用 Peano 余项的形式，即

f(x)=∑i=0nf[i](x0)i!(x−x0)i+O((x−x0)n+1)f(x)=\sum_{i=0}^n \frac{f^{[i]}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i+O((x-x_0)^{n+1})

常见的用 Taylor 展开处理的函数有 sin⁡x,cos⁡x,ln⁡(x+1),ex,(1+x)α\sin x,\cos x,\ln (x+1),e^x,(1+x)^{\alpha} 等。

也有小部分题目会用到 Lagrange 余项的形式。

7.L Hospital

有 00\frac 0 0 型和 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 型，具体内容不再赘述。

使用 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 型时，只需保证分母趋向∞\infty 即可，分子不趋向 ∞\infty 也成立。

注意，L Hospital 只是充分条件，而非必要条件。如 limx→∞x+sin⁡xx+cos⁡x=1\lim_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x+\cos x}=1 ，但用 L Hospital 无法求出结果。

8.Stolz 公式

与 L Hospital 形式类似，也有00\frac 0 0 型和 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 型，用于求数列极限。

∞∞\frac{\infty}{\infty} 型： {xn}\{x_n\} 严格递增，且limn→∞xn=+∞\lim_{n\to \infty}x_n=+\infty 。

注意这里和 L Hospital 的 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 型条件相似，并不需要分子趋向 ∞\infty 。

00\frac0 0 型： limn→∞xn=limn→∞yn=0\lim_{n\to \infty}x_n=\lim_{n\to \infty}y_n=0 ，且 {xn}\{x_n\} 严格递减。

在满足以上两个条件之一时，若 limn→∞yn−yn−1xn−xn−1=A\lim_{n\to \infty}\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}=A （ AA 可为有限数，+∞,−∞+\infty,-\infty ），则 limn→∞ynxn=A\lim_{n\to \infty}\frac{y_n}{x_n}=A。

9.利用积分定义

将欲求的极限值变形成定积分的定义式，转换为计算定积分求解。

10.Lagrange 中值定理

若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b) 内可导，则 ∃ξ∈(a,b)\exists \xi\in(a,b) ，满足f′(ξ)=f(b)−f(a)b−af(\xi)=\frac {f(b)-f(a)}{b-a} ，即 f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a)=f(\xi)(b-a) 。

例： limx→∞(sin⁡x+1−sin⁡x)=limx→∞cos⁡ξ2ξ=limξ→∞cos⁡ξ2ξ=0\lim_{x\to \infty}(\sin\sqrt{x+1}-\sin \sqrt x)=\lim_{x\to \infty}\frac{\cos\sqrt\xi}{2\sqrt \xi}=\lim_{\xi\to \infty}\frac{\cos\sqrt\xi}{2\sqrt \xi}=0 。

（该例也可用和差化积直接求解。）