一小时学会双元教程！

1. 前言

追求速通可以跳过前言。

求不定积分的双元法在一年之前就早已成形，如果你还没听说过，那么现在开始也不迟。

原因一是我注意到对双元法感兴趣的人也愈来愈多，交流并没有变得方便，而是产生了隔阂。其二现在的一些理解和一年之前的理解也有很大不同，于是认为可以“降低门槛”，使读者能够真正理解双元法的本质，以及更快更好地解决不定积分。

在开始正文之前，回答几个常问的问题：

Q.双元法是多余的方法吗？它比现有的积分方法更好吗？

首先不定积分方法本质上只有一种，就是凑微分。所谓的换元都是为了方便凑微分。从更方便这个角度来看，双元法的确比一些方法更简洁。下面是三角换元与双元法的对比：

三角换元过程双元过程

双元法其实并不是一个独立的方法，它既可以看成三角换元的推广，也可以看成组合积分法的拓展，也是一种特殊的凑微分。这也导致学习双元法需要一定门槛，推荐初学者在学会一些基本方法之后再进行学习。

Q.有没有什么只有双元法才能解决的不定积分题目？

同前所述，任何可以解决的不定积分都可以通过一个复杂的“注意到”凑微分解决，所以绝对意义上的讨论没有意义。但是显然地，双元法会降低你的思考消耗，在你还没到达“注意到”之神的水平时，给予对称性的提示与结构的简明。例如下面这个不定积分：

(1)∫x(2−x)excos⁡2x+e2x−x4(excos⁡x+x2sin⁡x)x4−e2xdxcos⁡2x\int{\frac{x\left( 2-x \right) e^x\cos 2x+e^{2x}-x^4}{\left( e^x\cos x+x^2\sin x \right) \sqrt{x^4-e^{2x}}}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\cos 2x}}} \tag{1}

其他的所有换元法都对你的解题帮助不大，而只有双元法的对称性能够提示一些思路。(指的是分母的 Asin⁡x+Bcos⁡xA\sin x+B \cos x 与A2−B2A^2-B^2 )

Q.双元法有哪些优缺点？

从一些群友的反应来看，双元法与多元微积分联系紧密，甚至对解某些微分方程有一些计算上的帮助。双元法总结的更全面，比如考虑 1−x2\sqrt{1-x^2} 与x2−1\sqrt{x^2-1} 是在一套体系下的，而三角换元似乎有些冗余。双元法不需要记太多公式，不用背一些冷门三角函数的积分。双元法更能突出结构，推广得到的三元法能在椭圆积分领域发挥作用。缺点是技巧性较高，对双元的选择需要一定的经验。

Q.什么不定积分都可以用双元法吗？

否。具备相应结构的才可以。带指数的可能不太行。

Q.考试能用双元法吗？

这其实有点像高中圆锥曲线你知道一些简单的结论，所以可以进行伪计算一样。例如：

你可能觉得这么写省略了很多步，而其实在双元意义下是完整的。咳咳，所以说这种题双元是可以口算的——

Q.（评论区补充）

2. 正文

所谓双元法，就是找两个未知量来积分。这两个未知量记为x,yx,y ，满足平方和或者平方差是常数就可以称为双元了。可以正式的写成

(2)xdx=±ydyx\mathrm{d}x=\pm y\mathrm{d}y \tag{2}

两边积分就会出现那个常数。

那么凭什么两个变量积分比之前对一个 xx 积分要快呢？往深了点说不定积分就是一个两元函数，关系都是和"2"亲的。往简单点说就是双元的公式比单元的好记，因为对称。

公式有哪些呢？首先你要把下面出现x,yx,y 的当成双元，有

(3)∫dxy={arctan⁡xyln⁡(x+y)\color{red}{ \int{\frac{\mathrm{d}x}{y}}=\begin{cases} \displaystyle \mathrm{arc}\tan \frac{x}{y}\\ \displaystyle \ln \left( x+y \right)\\ \end{cases}}\tag{3}

称为双元第一公式= =(有点尬，不过起不了什么好的名字了。

反正切那种就是平方和为常数情形的，对数的是平方差为常数。这甚至都不用管常数是多少，只要满足这个关系的都可以。

比如 ∫dxx2+a2=ln⁡|x+x2+a2|\int{\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}}=\ln \left| x+\sqrt{x^2+a^2} \right| ，∫d(x)x+a=ln⁡|x+x+a|\int{\frac{\mathrm{d}\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x+a}}}=\ln \left| \sqrt{x}+\sqrt{x+a} \right| ，

∫d((x−1234)2)2021−(x−1234)4=arctan⁡(x−1234)22021−(x−1234)4\int{\frac{\mathrm{d}\left( \left( x-1234 \right) ^2 \right)}{\sqrt{2021-\left( x-1234 \right) ^4}}}=\mathrm{arc}\tan \frac{\left( x-1234 \right) ^2}{\sqrt{2021-\left( x-1234 \right) ^4}} 等。

什么！你要三角换元？可以是可以的......如果还不觉得多余的话建议用三角换元求解上面的第三个积分。

证明可以看之前双元的文章，这里速通就不管了。

还有一个：

(4)∫dxy3=1(y2±x2)xy\color{red}{\int{\frac{\mathrm{d}x}{y^3}}=\frac{1}{\left( y^2\pm x^2 \right)}\frac{x}{y} }\tag{4}

称为双元第三公式。

你看见前面那个 y2±x2y^2\pm x^2 吗？它就是一个常数！双元是平方和为常数，那就是取加号，反之亦然。

比如萌新常问的积分： ∫dx(1+x2)32=x1+x2\int{\frac{\mathrm{d}x}{\left( 1+x^2 \right) ^{\frac{3}{2}}}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} ！

当然还可以是别的， ∫d(x3+x2)(x3+x2−1)32=−x3+x2x3+x2−1\int{\frac{\mathrm{d}\left( \sqrt{x^3+x^2} \right)}{\left( x^3+x^2-1 \right) ^{\frac{3}{2}}}}=-\frac{\sqrt{x^3+x^2}}{\sqrt{x^3+x^2-1}} ，可以看到是很灵活的。

好了，还有一个补充的公式：

(5)∫ydx=12xy+y2±x22∫dxy\color{red}{\int{y\mathrm{d}x}=\frac{1}{2}xy+\frac{y^2\pm x^2}{2}\int{\frac{\mathrm{d}x}{y}} }\tag{5}

这个也很常用。

有人会问怎么记 y2±x2y^2\pm x^2 而不是

x2±y2x^2 \pm y^2 呢？

这个你可以理解为“

ydx→y2±x2y \text{d}x \rightarrow y^2\pm x^2 ”.

那为啥有时候在分子有时候在分母？

你要看次数，第三公式分母次数很高，所以在分母，而这个没有分母，所以在分子了(

这里说是便于理解,具体证明还是看原来的文章吧= =

然后就没了——真没了——

是的一般常用的就这三个公式。

不过你要足够熟悉，如果我写一个 dxy3=1(y2±x2)d(xy)\frac{\mathrm{d}x}{y^3}=\frac{1}{\left( y^2\pm x^2 \right)}\mathrm{d}\left( \frac{x}{y} \right) 或者

∫dyx3=1x2±y2yx\int{\frac{\mathrm{d}y}{x^3}}=\frac{1}{x^2\pm y^2}\frac{y}{x} 你不要说不认识= =。

可能你松了口气，原来就这？三个公式就把我打发了，这么简单，就是总结一些公式而已嘛。

但是双元的精髓并不在计算上(虽然目的就是计算),而是在于选择双元。

不过这里不展开细说，因为选择一般来看是经典的，明显的，需要自己积累的。

有前面的那些公式，你也会看懂别人是如何使用双元的，顺便把双元设法“拷贝”过来(

简单的有如下几类：

1.

x,x2−a2,b2−x2x,\sqrt{x^2-a^2},\sqrt{b^2-x^2}

2.

sin⁡x+cos⁡x,sin⁡x−cos⁡x,sin⁡2x\sin x+\cos x,\sin x-\cos x,\sqrt{\sin 2x}

3.

x+1x,x−1x,x2+1x2+a2x+\frac{1}{x},x-\frac{1}{x},\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}+a^2}

4. ax2+bx+c,a(x+b2a)\sqrt{ax^2+bx+c},a\left( x+\frac{b}{2a} \right)

等等。其中第二个就是组合积分里面常用的。

下面是一些双元解题的例子：

可以看到第一行就是在设这个双元p和q，他们的关系式平方差为常数，所以是可以的。然后利用了pdp=qdq化简，以及公式(5)的使用，最后一步就是双元第一公式。

值得一提的是，在设双元的时候可能会改变定义域，那么在书写结果时需要注意把定义弄回来，比如这里就不要写成 ln⁡(x−a+x−b)\ln \left( \sqrt{x-a}+\sqrt{x-b} \right) 了，而是平方了之后化简，与题目定义域统一。当然不追求这些严谨性时就随意了。

如果你比较敏感的话，还会发现上面的积分都没有+C！哇！(是故意的x

读者习题 如果你能用双元解决下面这题，那么就已经学会了！

(6)∫xdxx2+2x+3\int{\frac{x\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+2x+3}}} \tag{6}

注:本文只是为了快速学会，而熟练使用应该得自己练习了~

写于2021年12月10日.

3. 参考资料

以前粗糙的一些内容，以及前面公式的证明，

虚调子：隐圆不定积分的常用方法872 赞同 · 112 评论文章

双元法练习题：

虚调子：不定积分·双元法练习554 赞同 · 92 评论文章