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老师介绍

川师师姐：2019年成功上岸四川师范大学数学专业。对学科数学专业课的知识熟练掌握，对川师的历年真题有深入研究和总结，了解出题风格和套路；有自己的学习技巧和知识笔记，备考经验十分丰富。擅长根据学生特色定制不同的教学模式，因人施教，教学风格活泼，讲课深入浅出，条理清楚，层层剖析。

这是川师数学考研第 4 篇文章

化标准形方法及例题详解

【化标准形的方法】

（1）配方法（用得比较多） （2）合同变换法 （3）正交变换法（用下面这个题来说明用正交变换化二次型为标准形的步骤）

经典例题：求正交变换，即求正交矩阵T，使变换化二次型为标准形（即平方和）。

解：（1）写出此二次型的矩阵

（2）求出A的特征值

（3）求出相应的线性无关特征向量

当时，由（E-A）x=0，即解齐次线性方程组

得基础解系（即线性无关的特征向量）。

当时，由，即解方程组

得基础解系（即线性无关的特征向量）。

当时，由，即解方程组

得基础解系（即线性无关的特征向量）。

（4）正交单位化

由于已经正交，只单位化即可，令

并记，则T为正交阵。

（5）作正交变换化为标准形

令

则Z=TY为正交变换，且

注意：把二次型用正交变换化为标准形，以及用正交阵把实对称矩阵合同成对角阵。这两者从本质上说是同一回事。

正&负定二次型

【正定二次型及负定二次型】

（1）正定二次型

（2）负定二次型

经典例题

例1— 求证：不存在正交阵A，B，使

例2 —设A为n阶实方阵，，且，请证明：

注意：由该题证法可证：若A为正交阵，且有，则A有特征值-1.

例3 —设A，B都是n阶正交阵，且，证明：

注意：由该题可证下题：若A，B为正交阵，且A+B为逆矩阵，证明（用反证法）。

例4 —证明：实矩阵A的特征值全为实数的充要条件是存在正交矩阵Q，使为三角矩阵.

例5 —设是一个实二次型，是A的特征多项式的根，且.证明：对任一，有

【类似题目】：求函数在实单位球面上：达到最大值与最小值，并求出达到最大值与最小值时的值。

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