求正交基础解系（正交的基础解系怎么求）

之前谈了很多高等数学的内容，今天谈一个线性代数中的内容。

在线性代数中，经常会面临求解线性方程组，求基础解系不难，但是难在有些题目，明确要求正交的基础解系，这就要求我们既要求出基础解系的同时，还要保证正交。

施密特正交化确实是一种方法，但公式过于复杂，计算量大，且容易出错，我们今天选取一个例题，来讲取相互正交的基础解系的方法。题目还是来源于合工大共创模拟题：

这道题似乎有人看不懂，毕竟正交基这个概念，是属于向量空间的内容，只有数学一考查。那么我们可以将这个题换一种通俗的说法：求方程组的一组相互正交且单位化的基础解系。

常规的思路，应当是求完基础解系之后，使用施密特正交化的方法，将求得的基础解系正交化即可，再做单位化。我们来看一下实际过程：

思路明确：先解出基础解系，然后进行施密特正交化，单位化得到答案。

我对此解法不太满意，一方面是施密特正交化公式容易记错，另一方面是计算量太大，容易计算出错。所以推荐大家来学会下面的方法，直接求解相互正交的基础解系：

我们这个做法，强制让基础解系中的两个向量正交，这样就相当于多出一个约束条件，也就同时确定了基础解系。最终得到的结果，一定是相互正交的基础解系向量，再做一个单位化即可，彻底的避开了施密特正交化的计算与使用，大大减少了计算量，提高了准确度。

这类相关问题非常多，出现最多的场景是实对称矩阵的正交变换，在相同特征值的情况下，如何在基础解系中直接取出相互正交的特征向量是非常关键的步骤。希望大家学会这个方法，后续复习做题的时候多多使用，运用熟练即可节省大量的时间。