高数多元复合函数的求导法则（高等函数复合函数求导）

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一元复合函数 y=f(φ(x))y = f( \varphi(x)) ⇔\Leftrightarrow y=f(u),u=φ(x)y=f(u), ~~ u= \varphi(x)

其求导有链式法则： dydx=dydududx\frac{\mathrm{d} y} {\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y} {\mathrm{d} u} \frac{\mathrm{d} u} {\mathrm{d} x}

画出函数关系图： y→u→xy \to u \to x ，可见从 yy 到 xx 有一条路径，所以结果是 1 项的和，每一段路径（对应一个导数）乘起来。

这个规则推广到多元复合函数也是适用的。本篇就来讲一讲这个基本方法，掌握了它各种多元复合函数求导，包括各种隐函数求导，无论多复杂都手到擒来。

一. 基本步骤

非常简单：

（1）先理清函数关系，画出函数关系图；

（2）按照规则写出式子（有几条路径就是几部分的和，路径的每段对应的导数用乘法连起来）。

剩下的就只是计算，还要注意一元函数关系用直立的导，多元函数关系用偏导；还有通常的二元函数或多元函数（非隐函数，方程式才隐含隐函数），比如z=f(x,y)z = f(x,y) , 其中的 x,yx,y 是相互独立的，即 ∂x∂y=0,∂y∂x=0\frac{\partial x}{\partial y} = 0 , \, \frac{\partial y}{\partial x} = 0 , 也即通常求偏导时，将其余变量当常数对待。

很多学生追求题海战术，往往忽略第一步，结果做了大量的题目，遇到难题还是不会。

二. 若干例子

下面通过几个例子来阐述。

例1 u=ex3+y2+z,z=xsin⁡yu = e^{x^3+y^2+z}, \, z = x \sin y , 求 ∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x} .

解：（1）分析函数关系，uu 是 x,y,zx,y,z 的函数， zz 是 x,yx,y 的函数，据此画出函数关系图：

（2）按规则写出式子

uu 到 xx 有两条路径： uu 直接到 xx ， uu 先到 zz 再 zz 到xx

∂u∂x=∂u∂x+∂u∂z∂z∂x=⋯\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} =\cdots （计算略)

注意：上式两个 ∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x} 的含义是不同的，左端的∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x} 是整个函数关系中的偏导关系，而右端的∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x} 只是这个分支路径的偏导关系，只考虑uu 对 xx 的偏导，将 z,yz,y 当常数对待。

说明：整个函数关系是指“复合之后 uu 只是 x,yx,y 的二元函数（不含中间变量）”，即

u=ex3+y2+xsin⁡yu = e^{x^3+y^2+x \sin y}

而将整个函数关系（含中间变量）表示成的上图，是对整个函数关系的一种分解，分解之后每部分关系都是相对独立的关系（不再混杂不清），即

{u=ex3+y2+z,z=xsin⁡y\left\{ \begin{array}{l} u = e^{x^3+y^2+z}, \\ z = x \sin y \end{array} \right.

故在按函数关系图写出式子时，不需要再考虑混杂关系，只需要按规则写即可。

例2 隐函数求导也一样，除了时刻注意到隐含的函数关系。比如， F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 ,求 和∂z∂x和∂2z∂x2\frac{\partial z}{\partial x} 和 \frac{\partial^2 z} {\partial x ^2} .

解：(1) F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 隐含了函数关系 z=f(x,y)z = f(x,y) . 【当然，根据问题需要，它也可以隐含函数关系：x=g(y,z),y=h(x,z)x = g(y,z), \, y = h(x,z) 】

先画出函数关系图（ FF 是 x,y,zx,y,z 的函数，zz 是 x,yx,y 的函数）：

为了求 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x} ，两边同时对 xx 求导，注意隐含的函数关系 z=f(x,y)z = f(x,y) .

按规则写出式子：

∂F∂x=∂F∂x+∂F∂z∂z∂x=Fx′+Fz′∂z∂x=0 \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} =F_x + F_z \frac{\partial z}{\partial x} =0

⇒∂z∂x=−Fx′Fz′\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F_x}{F_z}

(2) 再求二阶偏导，按定义二阶偏导就是对一阶偏导结果，再求一次一阶偏导

∂2z∂x2=∂∂x(∂z∂x) \frac{\partial^2 z} {\partial x ^2} = \frac{\partial}{\partial x} \Big( \frac{\partial z}{\partial x} \Big) ，代入

=∂∂x(−Fx′Fz′)=\frac{\partial}{\partial x} \Big( - \frac{F_x}{F_z} \Big)

画出函数关系图，注意 Fx′,Fz′F_x , F_z 的地位与 FF 是相同的，仍有相同的函数关系：

所以，上式先是商式求导，再注意到上图的函数关系，正常计算即可（略）。

例3 设F(x,y)F(x,y) 有二阶连续偏导，已知方程 F(xz,yz)=0F\big(\frac{x}{z}, \frac{y}{z} \big)=0 , 求 dz\mathrm{d} z .

解：（1）先理清函数关系

F(xz,yz)=0F\big(\frac{x}{z}, \frac{y}{z} \big)=0 是方程式，所以这是个隐函数，其中有 x,y,zx,y,z ，所以实际上是 G(x,y,z)=0G(x,y,z)=0 , 它隐含的函数关系是z=f(x,y)z = f(x,y) .

要求 dz\mathrm{d} z ， 那就是全微分公式，需要先求 和∂z∂x和∂z∂y\frac{\partial z}{\partial x} 和 \frac{\partial z}{\partial y}

又 FF 中的两个位置变量带表达式，所以，先引入中间变量（复合函数）简化关系，令 u=xz,v=yzu = \frac{x}{z}, \, v= \frac{y}{z} , 则方程式变为F(u,v)=0F(u, v) = 0

画函数关系图（别忘了隐函数关系）：

(2) 方程式两边 F(u,v)=0F(u, v) = 0 同时对xx 求导，按照上图和规则写式子：

FF 到 xx 共有 3 条路径： FF 到 uu 到 xx , FF 到 uu 到 zz 到xx , FF 到 vv 到 zz 到 xx. 故

∂F∂x=∂F∂u∂u∂x+∂F∂u∂u∂z∂z∂x+∂F∂v∂v∂z∂z∂x=0\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}+ \frac{\partial F}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} = 0

u,vu,v 是自己引入的中间变量，不是原题目里的，按照约定用位置下标来写，即计算上式得

F1′1z+F1′⋅(−xz2)⋅∂z∂x+F2′⋅(−yz2)⋅∂z∂x=0F_1 \frac{1}{z} + F_1 \cdot (- \frac{x}{z^2} ) \cdot \frac{\partial z} {\partial x} + F_2 \cdot ( - \frac{y}{z^2} ) \cdot \frac{\partial z} {\partial x} = 0

可解出 ∂z∂x=zF1′xF1′+yF2′\frac{\partial z} {\partial x} = \frac{z F_1}{x F_1 +y F_2}

同理，方程两边同时对 yy 求导，可推得 ∂z∂y=zF2′xF1′+yF2′\frac{\partial z} {\partial y} = \frac{z F_2}{x F_1 +y F_2}

(3) 于是，由全微分公式，可得

dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy=z(F1′dx+F2′dy)xF1′+yF2′\mathbb{d} z = \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{d} x + \frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{d} y = \frac{z ( F_1 \mathrm{d} x + F_2 \mathrm{d} y)}{x F_1 +y F_2}

例4 方程组 {F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0\left\{ \begin{array}{l} F(x,y,u,v) = 0 \\ G(x,y,u,v) = 0 \end{array} \right.

分析：若从 F(x,y,u,v)=0F(x,y,u,v) = 0 解出 v=g(x,y,u)v = g(x,y,u) 再代入G(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0 可得 H(x,y,u)=0H(x,y,u) = 0 , 该隐函数可隐含函数关系 u=u(x,y)u = u(x,y) ; 同理，若先从第1个方程解出uu 再代入第2个方程，可确定隐函数函数关系 v=v(x,y)v = v(x,y) .

故该方程组隐含两个二元函数关系：

{u=u(x,y)v=v(x,y)\left\{ \begin{array}{l} u =u(x,y) \\ v = v(x,y) \end{array} \right.

那么就可以求 ∂u∂x,∂u∂y,∂v∂x,∂v∂y\frac{\partial u} {\partial x}, \, \frac{\partial u} {\partial y}, \, \frac{\partial v} {\partial x}, \, \frac{\partial v} {\partial y} .

画出函数关系图：

原方程组两边同时对 xx 求导，根据上图和规则可得

{∂F∂x+∂F∂u∂u∂x+∂F∂v∂v∂x=0∂G∂x+∂G∂u∂u∂x+∂G∂v∂v∂x=0\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\partial F}{\partial x} + \dfrac{\partial F}{\partial u} \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial F}{\partial v} \dfrac{\partial v}{\partial x} = 0 \\ \dfrac{\partial G}{\partial x} + \dfrac{\partial G}{\partial u} \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial G}{\partial v} \dfrac{\partial v}{\partial x} = 0\ \end{array} \right.

即

{Fx′+Fu′∂u∂x+Fv′∂v∂x=0Gx′+Gu′∂u∂x+Gv′∂v∂x=0\left\{ \begin{array}{l} F_x + F_u \dfrac{\partial u} {\partial x} + F_v \dfrac{\partial v}{\partial x} = 0 \\ G_x + G_u \dfrac{\partial u}{\partial x} + G_v\dfrac{\partial v}{\partial x} = 0\ \end{array} \right.

解这个关于 和∂u∂x和∂v∂x\frac{\partial u} {\partial x} 和 \frac{\partial v} {\partial x} 的二元一次方程组，即可求得和∂u∂x和∂v∂x\frac{\partial u} {\partial x} 和 \frac{\partial v} {\partial x}.

同理，原方程组两边同时对 yy 求导，解方程组可求得和∂u∂y和∂v∂y\frac{\partial u} {\partial y }和 \frac{\partial v} {\partial y}.

总结：以上就是多元复合（隐）函数（无论有表达式还是无表达式）求导（包括求一阶、二阶导）的基本方法，通过一两道题掌握了这个基本方法，不用搞题海战术，这类题也都能轻松解决。

主要参考文献

高等数学，同济版。

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