圆的18个定理

1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推理过程

根据旋转的性质，将∠AOB绕圆心O旋转到∠AOB的位置时，显然∠AOB=∠AOB，射线OA与OA重合，OB与OB重合，而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，从而点A与A重合，B与B重合。

因此，弧AB与弧AB重合，AB与AB重合。即

圆心角定理

弧AB=弧AB，AB=AB。

则得到上面定理。

同样还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

所以，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

定理证明：

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.

证明：

情况1：

如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

∵OA、OC是半径

图1

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

情况2：

如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：

连接AO，并延长AO交⊙O于D∵OA、OB、OC是半径

图2

解：∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

情况3：

如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。

图3

解：∵OA、OB、OC、是半径

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）

∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

圆心角等于180度的情况呢？

看情况1的图，圆心角∠AOB=180度，圆周角是∠ACB，

显然因为∠OCA=∠OAC=∠BOC/2

∠OCB=∠OBC=∠AOC/2

所以∠OCA+∠OCB=

（∠BOC+∠AOC）/2=90度

所以2∠ACB=∠AOB

圆心角大于180度的情况呢？

看情况3的图，圆心角是（360度-∠AOB），圆周角是∠ACB，

只要延长AO交园于点D，由圆心角等于180度的情况可知∠ACD=∠ABD=90度

根据情况3同理可证：∠BOC=2∠BAC=2∠BDC

根据情况1和情况3同理可证：∠AOC=2∠ADC=2∠ABC

所以∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC

=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度

即∠ACB=180度-∠ADB

由情况2可知：∠AOB=2∠ADB

所以360度-∠AOB=2（180度-∠ADB）=2∠ACB

推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所

推论3： 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等

4、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

切线的判定方法

【定义】

如果直线与圆只有一个公共点，这时直线

与圆的位置关系叫做相切。这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。

切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

【证明】



已知：直线l与⊙O有交点A，且OA⊥l ；

求证：l 是⊙O的切线。

证明：假设直线l不是⊙O的切线，

则⊙O与l有两个交点，设另外一个交点为B，连接OB。

由于A、B都是⊙O上的点，因此OA=OB。又OA⊥l ，由于直角三角形中斜边大于直角边，

有OA<OB，与OA=OB矛盾；

因此假设不成立，l 是⊙O的切线。

5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

切线长定理的证明：

定理证明示意图（看上图）

欲证AC = AB，只需证△ABO≌ △ACO。

如图，OC、OB为圆的两条半径，又∠ABO = ∠ACO=90°

在Rt△ABO和Rt△ACO中

∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO（H.L）

∴AB=AC，且∠AOB=∠AOC，且∠OAB=∠OAC。[3]

切线长定理推论：

①圆的外切四边形的两组对边的和相等；

②从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。

证明：连结AC,BD,由圆周角定理的推论,得∠A＝∠D,∠C＝∠B.（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） ∴△PAC∽△PDB,∴PA∶PD＝PC∶PB,PA·PB＝PC·PD

8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长

9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

已知：从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D

求证：AP·BP=CP·DP

证明：过点P作圆O的切线，记切点为T

由切割线定理可知：AP·BP=PT2，CP·DP=PT2

∴AP·BP=CP·DP

10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径

推论1 ：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

推论2： 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线的性质：

1、切线和圆只有一个公共点；

2、切线和圆心的距离等于圆的半径；

3、切线垂直于经过切点的半径；

4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

推理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

如上图，已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。

求证：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

证明：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠OCB=∠OBC

∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC)

又∵∠BOC=2∠BAC

∴∠OCB=90°-∠BAC

∴∠BAC=90°-∠OCB

又∵∠TCB=90°-∠OCB

∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

综上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

12、定理： 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

13、定理： 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

练习题：把一个圆五等分

拓展：

14、定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

15.等圆和同心圆

16、定理： 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

17、定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

18、(d是圆心距，R、r是半径)

①两圆外离 d>R+r

②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r<dr)

④两圆内切 d=R-r(R>r)

⑤两圆内含dr)