计算下列三重积分（三重积分题目及答案）

关于三重积分，是数一的内容。

三重积分核心也就是选对三重积分三大类方法，做什么题适合什么样的方法比较简便。

先总结关于三重积分的方法

三重积分的计算方法：总结三种坐标形式

1.直角坐标法

①先一后二（先对z求积分，再对xy求积分）

需要注意的是，在对xy积分的时候，积分区域是在xoy上面的投影

②先二后一（先对xy积分，再对z积分）

这里对z的积分的时候，积分区域是垂直z轴平面所截的区域

适合先二后一：

①被积函数：只含有x，y，z其中一个

②积分区域：用 z=z0z=z_0 截取后面积易求

直角坐标系下求三重积分“先二后一”

2.柱坐标

{x=rcosθy=rsinθz=z\begin{cases} x=rcos \theta \\ y=rsin \theta \\ z=z \end{cases} 公式∭Ωf(x,y,z)=∭Ωf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz\iiint_{\Omega}f(x,y,z)=\iiint_\Omega f(rcos\theta,rsin\theta,z)rdrd\theta dz

x2+y2=r2x^2+y^2=r^2

注意：什么时候适合柱坐标

①被积函数：出现 x2+y2\sqrt{x^2+y^2}

②积分区域：积分区域在xoy面上能用极坐标表示

用柱面坐标计算三重积分

3.球坐标

{x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=zcosφ\begin{cases} x=rsin \varphi cos \theta \\ y=rsin\varphi sin \theta \\ z=zcos\varphi \end{cases} ,公式∭Ωf(x,y,z)dv=∭Ωf(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)r2sinφdrdθdz\iiint_\Omega f(x,y,z)dv =\iiint_\Omega f(rsin\varphi cos\theta,rsin\varphi sin\theta ,rcos\varphi)r^2sin\varphi drd\theta dz

x2+y2+z2=r2x^2+y^2+z^2=r^2

注意：什么时候适合球坐标

①被积函数出现 x2+y2+z2\sqrt{x^2+y^2+z^2}

②积分区域是一个球或者是一个锥体

θ\theta 就是投影在xoy的角度范围， φ\varphi 就是过原点，引一条射线,向下转，转出积分区域范围就是φ\varphi 的范围

用球面坐标计算三重积分

4.一些常见积分区域的几何图形

① z=x2+y2z=x^2+y^2

② z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2}

③ z=a−x2−y2z=\sqrt{a-x^2-y^2}

④ z=a−x2−y2z=a-x^2-y^2

5.更换三重积分的次序

这里常见的是两种问题，一种是累次积分交换次序，另一种是计箅累次积分，计算累次积分通常也是通过交换累次积分次序来进行.交换三重累次积分次序本应像二重累次积分一样，先画域，然后再重新定限，然而，这里画域往往比较困难，通常利用二重积分交换次序逐步实现三重累次积分交换次序。