本
文
摘
要
=引言=
方程是研究函数的极其有用的工具。在这篇文章里，我将为你讲解一元二次方程的四种解法，并为你预习一下函数的一些普通概念。希望你能理解。
鉴于我的语言表达能力等种种限制，这篇文章势必会存在各种不足之处。建议你在遇到难点和问题时积极思考，可以询问我也可以询问你的任课教师。有疏漏与错误烦请海涵。
§1.1一元二次方程的定义
只含有一个未知数，且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。它的标准形式为：
ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2+bx+c=0(a\ne0)
其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
重点：一个未知数，最高次为2，整式方程。
例1：已知方程−x2+2x−3=0-x^2+2x-3=0 ，请指出它的二次项系数、一次项系数、常数项。
在这个方程中，它的二次项系数为-1，一次项系数为2，常数项为-3。初学一元二次方程，要注意各项系数的符号。
例2：已知方程axa2−2+2x+1=0ax^{a^2-2}+2x+1=0 是关于x的一元二次方程，请写出a的值。
这道题目考察一元二次方程定义。由其指数可得方程：
a2−2=2a^2-2=2
解得a=±2，即为所求。
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法，我们会在下文详细叙述，这里暂且按下不表。
一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根。
注1：我们通常把方程的解叫做根，例如分式方程的增根、一元二次方程的整数根等。根的叫法要比解的叫法常见一些，但二者均指同一概念。
注2：根据代数学基本定理，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根。可以简单理解为：整式方程的最高次数是几就有几个根。因此，一元二次方程有两个根，记为x1与x2。但也存在特例如x²=0，这个方程的两个根相等，均为0。
§1.2一元二次方程的解法
你已学过一元一次方程的解法，那么相对的，任意一个一元二次方程都有其相应的解法。在这一节里，你将学习一元二次方程的四种常规解法，这些解法都被记录到了人教版九年级上册数学教科书内。
§1.2.1直接开平方法
形如x²=p或(ax+b)²=p的方程可以利用直接开平方法求解。其中，p,a,b为常数且a≠0，p≥0。
若你已学过平方根、开平方的概念，那么你便可以利用直接开平方的方法求解这样的方程。我们举具体例子来说明。
例1：解方程x2=7x^2=7
开平方得：
x=±7x=\pm\sqrt{7}
所以x1=√7，x2=-√7。
初学解一元二次方程，注意求的是平方根而不是算数平方根。
例2：解方程(x+1)2=4(x+1)^2=4
开平方得：
x+1=±2x+1=\pm2
分类讨论，当x+1=2时，x=1；当x+1=-2时，x=-3。
所以综上所述，x1=1，x2=-3。
例3：解方程(2x+3)2=5(2x+3)^2=5
开平方得：
2x+3=±52x+3=\pm\sqrt{5}
分类讨论，当2x+3=52x+3=\sqrt{5} 时， 2x=5−32x=\sqrt{5}-3 ，x1=5−32x_{1}=\frac{\sqrt{5}-3}{2} 。同理可得x2。
解得x2=−5−32x_{2}=-\frac{\sqrt{5}-3}{2} 。
使用直接开平方法需要注意以下几点：
1.所求的根有两个。
2.分类讨论时注意移项变号。
3.分开写x1和x2。
§1.2.2配方法
现在，你会利用直接开平方法解一元二次方程了。但是对于稍加复杂的一元二次方程，例如x2+2x=0x^2+2x=0 这个方程，如何求解呢？
若你已学过完全平方公式以及相关推论，那么在这里你便可以利用化归的思想来将方程转化为能利用直接开平方法求解的的形式。这样的转化过程称为配方。
我们便用这个易于配方的方程来讲解。
x2+2x=0x^2+2x=0
首先，我们要将已经化为标准形式的一元二次方程的二次项系数化为一。
其次，方程的常数项移至等号右边。这里可以省略。
最重要的一步，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方。这里一次项系数是2，2的一半是1，1的平方还是1。所以根据等式的基本性质一，方程左右两边同时加上1不影响方程的值。于是我们得到：
x2+2x+1=1x^2+2x+1=1
对于方程左边，想必你已非常熟悉。这就是(x+1)²的展开式。
(x+1)2=1(x+1)^2=1
请读者自行求解，这里从略。
解得x1=0，x2=-2。
对于这样的方程，我们还有更简单的方法：因式分解法，这道方程还可以化为x(x+2)=0，更易求解。
再来一道复杂些的练练手吧：
例1：解方程2x2−4x+6=02x^2-4x+6=0
根据配方法的步骤，首先我们要把二次项系数化为一。得到方程：
x2−2x+3=0x^2-2x+3=0
将常数项移至等号右边，得：
x2−2x=−3x^2-2x=-3
等式的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，1。
x2−2x+1=−2x^2-2x+1=-2
得到方程 (x−1)2=−2(x-1)^2=-2 ，很显然在实数域内这是无解的。所以你遇到了解高次方程时会遇到的情况：不存在实数解，即无实根。例2：解方程 2x2−8x+6=02x^2-8x+6=0
二次项系数化为一，得：
x2−4x+3=0x^2-4x+3=0
常数项移至等号右边：
x2−4x=−3x^2-4x=-3
两边同时加上一次项系数一半的平方：
x2−4x+4=1x^2-4x+4=1 即 (x−2)2=1(x-2)^2=1
解得x1=3，x2=-2.
*选学内容：复数域求解
在复数域内，这个方程是有解的。初中阶段不考察此内容。
我们引入虚数单位i，定义 i2=−1i^2=-1 。由此我们可知i=−1i=\sqrt{-1} 。
又根据二次根式的乘法性质，可知任意负数开根号都可以写成正数开根号再乘以i的形式，如 −2=2×−1\sqrt{-2}=\sqrt{2}\times\sqrt{-1} ，即2i\sqrt{2}i 。
由此，我们便得到了闭合的数字系统：复数。而上面的无实根方程(x−1)2=−2(x-1)^2=-2 ，此刻便有解了。
开平方得：
x−1=±2ix-1=\pm\sqrt{2}i
x=1±2ix=1\pm\sqrt{2}i
对于这样一个既有实数又有虚数的数，我们叫它复数，一般形式为a+bia+bi 。a叫做实部，b叫做虚部，它成为虚数的条件是b≠0。
注：无实根的一元二次方程的复数根一定会是共轭复数根，即两个复数根的实部相同，虚部为相反数。
对于复数域求解一元二次方程，我们在公式法中还会讲到利用求根公式在复数域求解一元二次方程。
总结：配方法求解一元二次方程有如下的步骤：
1.将方程化为标准形式。
2.二次项系数化为一。
3.将方程的常数项移到等号右边。
4.等式的左右两边同时加上一次项系数一半的平方。
5.将方程的左边化成 (ax+b)2(ax+b)^2 的形式，利用直接开平方法求解。后续待更新……
