三角形的中线与三角形的面积有什么关系（为什么三角形中线等分三角形面积）

这题下面目前有三种方法：海伦公式，画图，向量叉乘，以后还可能有更多。现在问题来了，这么多方法，为什么它们最终都得出一个结果呢？你可能会想，这不废话吗，正确答案只有一个，这都是正确的方法，当然得到的结果一样啦！我则认为，这种想法是知其然，不知其所以然，难免哪一天就会掉入“你的答案是对的可我的答案错哪儿了”的泥潭里。

那我们先来看向量叉乘，向量叉乘的方法可以看这个答案：

为什么三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的 3/4？百度上写的，在性质的最后一行？88 赞同 · 8 评论回答

我们来想象一下有一个运算f，它接受2个向量，返回向量围成的三角形面积，则它显然满足这一条规则：

f(αA，βB)=αβf(A,B)

既然是向量，那就要考虑三角形法则，(A,B)和(B,A+B)围成的三角形是一样的，则有

f(A,B)=f(B,A+B)

现在我们知道，假如三角形1个边上的向量记为x，另一个边的记为y，则有一条中线的向量为(x+y)/2，另一条中线的向量为(x-2y)/2。

根据上述两条而算出f(x,y)与f((x+y)/2,(x-2y)/2)的关系并不难。

我们再来看画图，画图的方法可以见

为什么三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的 3/4？百度上写的，在性质的最后一行？15 赞同 · 5 评论回答

这里需要一个关键点，即三角形重心在中线的2/3处。我们可以用向量法得出这个结论，也就是说，设三角形三顶点为ABC，A到重心的向量为a(x+y)/2，则它显然与C以及AB中点F共线，也即

a(x+y)/2=bx+(1-b)y/2

解出a后剩下的步骤就很显然了。

再看海伦公式，海伦公式见

为什么三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的 3/4？百度上写的，在性质的最后一行？37 赞同 · 15 评论回答

设f(x,y,z)为按顺时针数三边长为x,y,z的三角形的面积，逆时针取反，则显然有

f(αx,αy,αz)=α^2f(x,y,z)

f(A,a,b)+f(b,B,c)+f(a,c,C)=f(A,B,C)

设三角形三边分别为a,b,c，对应的三中线分别为x,y,z，f(a,b,c)=s，则可以得出6个方程，根据上述2法则一通乱算后应该可以解出来。。。。。吧。。。。。

那么我们可以看见，这三种方法的核心都是解一个线性方程组，那么，线性变换在哪里呢？很显然，是三角形的放缩和拼接。

在此我提供一个比较简单的放缩和拼接方法。

我们以中点e为圆心，旋转中线左边的三角形180度，就可以拼接出一个三边分别是原三角形两边和一条中线的2倍的三角形，面积和原三角形相等，三个这样的三角形可以拼成3中线构成三角形4倍的大三角形，所以原命题是显然的