四面体顶点投影为垂心（底面是正多边形,顶点在底面的射影）

下面我给出两种方法，注意到正三角形的中心其实是垂心，也是外心，分别证明是这两个即可。

第一种方法：

引理1.如果四面体的对棱互相垂直，那么任一顶点到所对的底面三角形的投影是该三角形的垂心。

注：互为对棱的两条棱没有公共顶点，如四面体A–BCD的三对对棱是AB和CD，AC和BD，AD和BC。

证明：过顶点A做底面垂线交底面于H，AB⊥CD，AH⊥CD，AB∩AH＝A，那么CD⊥平面ABH，所以CD⊥BH，同理BC垂⊥DH，BD⊥CH，所以H是△BCD的垂心

在正四面体中A–BCD中

取CD中点E，连接BE和AE，则CD⊥BE，CD⊥AE，又AE∩BE＝E，那么CD⊥平面ABE，那么CD⊥AB，同理得到正四面体另外两对对棱互相垂直，根据引理1，正四面体顶点到底面三角形的投影是底面的垂心，因为正三角形的四心合一，所以是底面的中心。

注：根据引理1，可以证明：

如果三棱锥A-BCD的三条棱AB，AC，AD两两垂直，那么顶点A在底面的投影是底面三角形BCD的垂心。

第二种方法：

引理2.三棱锥A-BCD的三条棱AB＝AC＝AD，那么顶点A在底面的投影是底面三角形BCD的外心。

证明：设投影是O，那么

△AOB≌△AOC≌△AOD，

所以OB＝OC＝OD

正四面体A-BCD的三条棱AB＝AC＝AD，所以顶点A在底面的投影是底面三角形BCD的外心。