本
文
摘
要
三角形有很多心，常见的有外心，内心，重心，垂心；不那么常见的有旁心，切心，界心，类似重心，历史上围绕这些点人们发现了许多美妙的性质如欧拉定理，九点圆定理等，本系列文章就简单介绍一下这些三角形中的特殊点。
（1）外心
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点同时也是三角形外接圆的圆心，称为外心。
（图中所标黑色点O即为外心）（2）重心
三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心，它同时也是三角形的几何中心。一块均匀三角形薄板，其物理重心就是这一点。
（图中所标青色点G即为重心）（3）垂心
三角形三条高交于一点，这一点称为三角形的垂心。
（图中所标蓝色点H即为垂心）当H为ΔABC的垂心时，A也是ΔHBC的垂心，并且ΔABC的外接圆与ΔHBC的外接圆关于BC边对称，如下图：
（证明过程我将在后面介绍垂心性质时给出）（4）内心
三角形三条角平分线交于一点（这个证明在初中就讲过），这个点称为内心，同时由于它到三条边的距离相等，所以也是内切圆的圆心。
图中所标黄色点I即为内心（5）旁心
三角形一个顶点的内角平分线与另外两点同向的外角平分线相交于一点，这个点称为旁心，与其他“心”不同的是，旁心共有三个。
（三个旁切圆的圆心即为旁心）一般将与A相对的旁心记为 IAI_{A} ，B C同理。
（6）切心
将三角形内切圆在边BC，边AC，边AB上的切点分别记为D、E、F，则AD、BE、CF三线交于一点，这个点叫做切心，也叫Gergonne点。
（图中所标橙色点J即为切心）（7）界心
与切心类似，记三角形三个旁切圆在对应边上的切点分别为D、E、F，AD、BE、CF三线共点，这个点叫做界心，也叫Nagel点。
（图中所标绿色点即为界心;）实际上 ，切心和界心互为等截共轭点，所以研究它们的性质时通常会放在一起，同时，它们还与一个极其优美的定理有关。
（8）类似重心
过B、C两点作三角形外接圆 ⊙\odot O的切线交于点P，类似地构造Q、R。则AP，BQ，CR分别为边BC、边AC、边AB上的陪位中线（一说作配位中线），这三条配位中线交于一点，称作类似重心：
（图中所标紫色点G＇即为类似重心）类似重心与重心关于ΔABC等角共轭，因而得名。实际上是由于陪位中线和与其共顶点的中线互为等角共轭线。
（９）一些特点
当AB＝AC时，A所对旁心 IAI_{A}与其它七心在BC边中垂线上（三线合一嘛）２.当A＝６０°时垂心H、内心I、外心O、A所对旁心IAI_{A}与B、C六点共圆
120 (2)70 播放 · 0 赞同视频（一般情况下I、B、C、IAI_{A}总是四点共圆，这个圆圆心在ΔABC外接圆的弧BC上，因与鸡爪定理密切相关称作“鸡爪圆”）
3.当三角形ABC为等边三角形时，除旁心外“七心归一”
三角形七心归一75 播放 · 0 赞同视频以上就是三角形八心的简介，在进一步探究它们的性质之前，我们还需要搞清楚一个问题：它们为什么存在？或者说，证明三线共点，这一步需要用到塞瓦定理，这便是下一篇文章将要介绍的。
ps:新人一枚，才疏学浅，若有疏漏，还请指教。
下一节：塞瓦定理及其证明
自由如风：三角形的几个“心”（0-2）塞瓦定理14 赞同 · 4 评论文章
