本
文
摘
要
线性代数知识点总结
1 行列式
（一）行列式概念和性质
1、逆序数：所有的逆序的总数
2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质：（用于化简行列式）
（1）行列互换（转置），行列式的值不变
（2）两行（列）互换，行列式变号
（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式
（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式
4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
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6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则
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7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
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数学归纳法证明
★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：
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（三）按行（列）展开
9、按行展开定理：
（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值
（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0
（四）行列式公式
10、行列式七大公式：
（1）|kA|=kn|A|
（2）|AB|=|A|·|B|
（3）|AT|=|A|
（4）|A-1|=|A|-1
（5）|A*|=|A|n-1
（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则
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（7）若A与B相似，则|A|=|B|
（五）克莱姆法则
11、克莱姆法则：
（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
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（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0
（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2矩阵
（一）矩阵的运算
1、矩阵乘法注意事项：
（1）矩阵乘法要求前列后行一致；
（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）
（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
2、转置的性质（5条）
（1）（A+B）T=AT+BT
（2）（kA）T=kAT
（3）（AB）T=BTAT
（4）|A|T=|A|
（5）（AT）T=A
（二）矩阵的逆
3、逆的定义：
AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1
注：A可逆的充要条件是|A|≠0
4、逆的性质：（5条）
（1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0)
（2）（AB）-1=B-1·A-1
（3）|A-1|=|A|-1
（4）（AT）-1=（A-1）T
（5）（A-1）-1=A
5、逆的求法：
（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解
（2）A为数字矩阵：（A|E）初等行变换（E|A-1）
（三）矩阵的初等变换
6、初等行（列）变换定义：
（1）两行（列）互换；
（2）一行（列）乘非零常数c
（3）一行（列）乘k加到另一行（列）
7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质：
（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵
（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j两行互换）；
Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）
Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）
★（四）矩阵的秩
9、秩的定义：非零子式的最高阶数
注：（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O
（2）r（An×n）=n（满秩） |A|≠0 A可逆；
r（A）＜n|A|=0A不可逆；
（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）r阶子式非零且所有r+1子式均为0。
10、秩的性质：（7条）
（1）A为m×n阶矩阵，则r（A）≤min（m,n）
（2）r（A±B）≤r（A）±（B）
（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}
（4）r（kA）=r（A）（k≠0）
（5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵）
（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）
（7）设A是m×n阶矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则r（A）+r（B）≤n
11、秩的求法：
（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解；
（2）A为数字矩阵：A初等行变换阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数
（五）伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质：（8条）
（1）AA*=A*A=|A|E ★A*=|A|A-1
（2）（kA）*=kn-1A*
（3）（AB）*=B*A*
（4）|A*|=|A|n-1
（5）（AT）*=（A*）T
（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1
（7）（A*）*=|A| n-2·A
★（8）r（A*）=n （r（A）=n）；
r（A*）=1 （r（A）=n-1）；
r（A*）=0 （r（A）＜n-1）
（六）分块矩阵
13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。
14、分块矩阵求逆：
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3向量
（一）向量的概念及运算
1、向量的内积：（α，β）=αTβ=βTα
2、长度定义： ||α||=
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3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=0
4、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AAT=E A-1=AT ATA=E |A|=±1
（二）线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件：
非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示
(1)非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。
(2)r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）
6、线性表示的充分条件：（了解即可）
若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。
7、线性表示的求法：（大题第二步）
设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。
（α1，α2，…，αs|β）初等行变换（行最简形|系数）
行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0
（三）线性相关和线性无关
8、线性相关注意事项：
（1）α线性相关α=0
（2）α1，α2线性相关α1，α2成比例
9、线性相关的充要条件：
向量组α1，α2，…，αs线性相关
（1）有个向量可由其余向量线性表示；
（2）齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；
（3）r（α1，α2，…，αs）＜s 即秩小于个数
特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关
（1） r（α1，α2，…，αn）＜n
（2）|α1，α2，…，αn |=0
（3）（α1，α2，…，αn）不可逆
10、线性相关的充分条件：
（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关
（2）部分相关，则整体相关
（3）高维相关，则低维相关
（4）以少表多，多必相关
推论：n+1个n维向量一定线性相关
11、线性无关的充要条件
向量组α1，α2，…，αs 线性无关
（1）任意向量均不能由其余向量线性表示；
（2）齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解
（3）r（α1，α2，…，αs）=s
特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn 线性无关
r（α1，α2，…，αn）=n |α1，α2，…，αn |≠0 矩阵可逆
12、线性无关的充分条件：
（1）整体无关，部分无关
（2）低维无关，高维无关
（3）正交的非零向量组线性无关
（4）不同特征值的特征向量无关
13、线性相关、线性无关判定
（1）定义法
（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关
【专业知识补充】
（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。
（2）若n维列向量α1，α2，α3 线性无关，β1，β2，β3 可以由其线性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，则r（β1，β2，β3）=r（C），从而线性无关。
r（β1，β2，β3）=3 r（C）=3 |C|≠0
（四）极大线性无关组与向量组的秩
14、极大线性无关组不唯一
15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩
对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数
注:向量组α1，α2，…，αs 的秩与矩阵A=（α1，α2，…，αs）的秩相等
16、极大线性无关组的求法
（1）α1，α2，…，αs 为抽象的：定义法
（2）α1，α2，…，αs 为数字的：
（α1，α2，…，αs）初等行变换阶梯型矩阵
则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组
（五）向量空间
17、基（就是极大线性无关组）变换公式：
若α1，α2，…，αn 与β1，β2，…，βn 是n维向量空间V的两组基，则基变换公式为（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cn×n
其中，C是从基α1，α2，…，αn 到β1，β2，…，βn 的过渡矩阵。
C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）
18、坐标变换公式：
向量γ在基α1，α2，…，αn与基β1，β2，…，βn 的坐标分别为x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，，即γ=x1α1 + x2α2 + … +xnαn =y1β1 + y2β2 + … +ynβn，则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中，C是从基α1，α2，…，αn 到β1，β2，…，βn 的过渡矩阵。C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）
（六）Schmidt正交化
19、Schmidt正交化
设α1，α2，α3 线性无关
（1）正交化
令β1=α1
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（2）单位化
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4线性方程组
（一）方程组的表达形与解向量
1、解的形式：
(1)一般形式
(2)矩阵形式：Ax=b；
(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）
2、解的定义：
若η=（c1，c2，…，cn）T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解（向量）
（二）解的判定与性质
3、齐次方程组：
（1）只有零解r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）
（2）有非零解r（A）＜n
4、非齐次方程组：
（1）无解r（A）＜r（A|b）r（A）=r（A）-1
（2）唯一解r（A）=r（A|b）=n
（3）无穷多解r（A）=r（A|b）＜n
5、解的性质：
（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解
（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解
（3）若η1，η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解
（1）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，则k1η1+k2η2+…+ksηs为
Ax=b的解 （当Σki=1）
Ax=0的解 （当Σki=0）
（2）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的s个线性无关的解，则η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。
变式：η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2
η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1
（三）基础解系
6、基础解系定义：
（1）ξ1，ξ2，…，ξs 是Ax=0的解
（2）ξ1，ξ2，…，ξs 线性相关
（3）Ax=0的所有解均可由其线性表示
基础解系即所有解的极大无关组
注：基础解系不唯一。
任意n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。
7、重要结论：（证明也很重要）
设A施m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O
（1）B的列向量均为方程Ax=0的解
（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）
8、总结：基础解系的求法
（1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解
（2）A为数字的：A初等行变换阶梯型
自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系
（四）解的结构（通解）
9、齐次线性方程组的通解（所有解）
设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r 为Ax=0的基础解系，
则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r （其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）
10、非齐次线性方程组的通解
设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r 为Ax=0的基础解系，η为Ax=b的特解，
则Ax=b的通解为η+ k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r （其中k1，k2，…，kn-r为任意常数）
（五）公共解与同解
11、公共解定义：
如果α既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称α为其公共解
12、非零公共解的充要条件：
方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解
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有非零解
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13、重要结论（需要掌握证明）
（1）设A是m×n阶矩阵，则齐次方程ATAx=0与Ax=0同解，r（ATA）=r（A）
（2）设A是m×n阶矩阵，r（A）=n，B是n×s阶矩阵，则齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B）
5 特征值与特征向量
（一）矩阵的特征值与特征向量
1、特征值、特征向量的定义：
设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义：
|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。
|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。
注:特征方程可以写为|A-λE|=0
3、重要结论：
（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量
（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。
（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。
4、总结：特征值与特征向量的求法
（1）A为抽象的：由定义或性质凑
（2）A为数字的：由特征方程法求解
5、特征方程法：
（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn
注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)
（2）解齐次方程（λiE-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λiE-A）个解）
6、性质：
（1）不同特征值的特征向量线性无关
（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量
1≤n-r（λiE-A）≤ki
（3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σaii
（4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0
（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则
A
f（A）
AT
A-1
A*
P-1AP（相似）
λ
f（λ）
λ
λ-1
|A|λ-1
λ
α
α
/
α
α
P-1α
（二）相似矩阵
7、相似矩阵的定义：
设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B
8、相似矩阵的性质
（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似
（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似
（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）
【推广】
（4）若A与B相似，则AB与BA相似，AT与BT相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似
（三）矩阵的相似对角化
9、相似对角化定义：
如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=
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，
称A可相似对角化。
注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均为矩阵A的特征值λi的特征向量
10、相似对角化的充要条件
（1）A有n个线性无关的特征向量
（2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量
11、相似对角化的充分条件：
（1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）
（2）A为实对称矩阵
12、重要结论：
（1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特征值的个数，n-r（A）为零特征值的个数
（2）若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数
（四）实对称矩阵
13、性质
（1）特征值全为实数
（2）不同特征值的特征向量正交
（3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ
（4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ
6 二次型
（一）二次型及其标准形
1、二次型：
（1）一般形式
（2）矩阵形式（常用）
2、标准形：
如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2
这样的二次型称为标准形（对角线）
3、二次型化为标准形的方法：
（1）配方法：
通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
（2）正交变换法：
通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2
其中，λ1，λ2，…，λn 是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵
注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi 对应即可。
（二）惯性定理及规范形
4、定义：
正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；
负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；
规范形：f=z12+…zp2-zp+12-…-zp+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：
二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）
（三）合同矩阵
6、定义：
A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，称A与B合同
7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系
（1）A、B相似（B=P-1AP）相同的特征值
（2）A、B合同（B=CTAC）相同的正负惯性指数相同的正负特征值的个数
（3）A、B等价（B=PAQ）r（A）=r（B）
注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价
（四）正定二次型与正定矩阵
8、正定的定义
二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型xTAx正定充要条件：
（1）A的正惯性指数为n
（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E
（3）A的特征值均大于0
（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）
10、n元二次型xTAx正定必要条件：
（1）aii＞0
（2）|A|＞0
11、总结：二次型xTAx正定判定（大题）
（1）A为数字：顺序主子式均大于0
（2）A为抽象：证A为实对称矩阵：AT=A；再由定义或特征值判定
12、重要结论：
（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定
（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定
