本
文
摘
要
可逆变换、同构isomorphi *** 与逆变换
有线性变换 T∈L(V,W)T\in L(V,W) ，如果存在 S∈L(W,V)S\in L(W,V) ，同时满足 ST=I∈L(V),TS=I∈L(W)ST=I\in L(V),TS=I\in L(W) ，即STST 是 VV 上的恒等变换， TSTS 是 WW 上的恒等变换，则 TT 就叫做可逆变换。因为对偶关系，不难看出 SS 也是可逆变换。可逆线性变换也叫做同构。（同构=相同结构，可逆线性变换叫同构有点奇怪，一个对象跟谁相同结构呢？）
可逆变换 TT 的逆变换是唯一的，记为 T−1T^{-1} 。pf: 若 S1,S2S_{1},S_{2} 都是 TT 的逆变换，考虑S1TS2S_{1}TS_{2} ，根据线性变换的结合律 S1TS2=(S1T)S2=IS2=S2,S1TS2=S1(TS2)=S1I=S1S_{1}TS_{2}=(S_{1}T)S_{2}=IS_{2}=S_{2},S_{1}TS_{2}=S_{1}(TS_{2})=S_{1}I=S_{1} ，故S1=S2S_{1}=S_{2} 。
有限维矢量空间可逆线性变换=单射+满射线性变换 T∈L(V,W)T\in L(V,W) 可逆等价于TT 既是单射也是满射。
pf:先证 TT 可逆 ⇒\Rightarrow TT 既是单射也是满射。若 Tv1=Tv2Tv_{1}=Tv_{2} ，则 T−1(Tv1)=T−1(Tv2)⇒v1=v2T^{-1}(Tv_{1})=T^{-1}(Tv_{2})\Rightarrow v_{1}=v_{2} ，因此TT 是单射。 T−1∈L(W,V)T^{-1}\in L(W,V) 对任意w∈Ww\in W 有 T−1w=vT^{-1}w=v ，则 TT−1w=TvTT^{-1}w=Tv ，也就是 w=Tvw=Tv ，即 W=rangeTW=range\ T ，所以 TT 是满射。
再证 TT 既是单射也是满射⇒\Rightarrow TT可逆。
先证一个中间结论： 取 VV 的一组基 v1...vnv_{1}...v_{n} ，因为 TT 既是单射也是满射，则 T(v1)...T(vn)T(v_{1})...T(v_{n}) 是WW 的一组基。 Tv=T(a1v1+...+anvn)=a1Tv1+...+anTvnTv=T(a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n})=a_{1}Tv_{1}+...+a_{n}Tv_{n} ，因为TT 是满射， W=span(Tv1...,Tvn)W=span(Tv_{1}...,Tv_{n}) ；因为 TT 是单射，T(v1)...T(vn)T(v_{1})...T(v_{n}) 线性独立，所以T(v1)...T(vn)T(v_{1})...T(v_{n}) 是 WW 的一组基。
定义 S∈L(W,V)S\in L(W,V) 为 S(a1Tv1+...+anTvn)=a1v1+...+anvnS(a_{1}Tv_{1}+...+a_{n}Tv_{n})=a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n} , 之前多次证明这样定义的函数是线性变换。可以验证STv=ST(a1v1+...+anvn)=S(a1Tv1+...+anTvn)=a1v1+...+anvn=vSTv=ST(a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n})=S(a_{1}Tv_{1}+...+a_{n}Tv_{n})=a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n}=v ;TSw=TS(a1Tv1+...+anTvn)=T(a1v1+...+anvn)=a1Tv1+...+anTvn=wTSw=TS(a_{1}Tv_{1}+...+a_{n}Tv_{n})=T(a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n})=a_{1}Tv_{1}+...+a_{n}Tv_{n}=w ;所以S=T−1S=T^{-1} 。
有限维矢量空间可逆线性算子=单射=满射回忆一下算子的定义：线性算子是从VV到它自己的线性变换：T:V→VT:V\rightarrow V，线性算子的 *** 记为L(V)L(V)。
假设 VV 是有限维矢量空间，线性算子 T∈L(V)T\in L(V) ，则以下三个条件等价：
TT 可逆TT 是单射TT 是满射pf: 最重要的就是证明 TT 是单射 等价于 TT 是满射 。根据线性变换基本定理dimV=dimnullT+dimrangeTdim\ V=dim\ null\ T+ dim\ range\ T ， TT 为单射则 dimnullT=0dim\ null\ T=0 ，所以dimrangeT=dimV dim\ range\ T=dim\ V ，也就是 TT 为满射；类似，TT 为满射则 dimrangeT=dimV dim\ range\ T=dim\ V ，所以 dimnullT=0dim\ null\ T=0 ，也就是TT 为单射。
再证可逆和单射满射的关系。上面已经证明可逆等价于既是单射又是满射，所以上面三个条件等价。
缺少“有限维”这个限定条件，“可逆线性算子=单射=满射”不成立在无限维矢量空间中的线性算子T∈L(P(R))T\in L(P(R)) ： (Tp)(x)=x2p(x),x∈R(Tp)(x)=x^{2}p(x),x\in R，是单射，但不是满射， ，x2p(x)≠1，x2p(x)≠xx^{2}p(x)\ne 1，x^{2}p(x)\ne x 。在无限维矢量空间中的线性算子T∈L(F∞)T\in L(F^{\infty}) ：T(x1,x2,x3...)=(x2,x3...)T(x_{1},x_{2},x_{3}...)=(x_{2},x_{3}...) ，是满射，但不是单射，T(1,0,0...)=(0,0,...)T(1,0,0...)=(0,0,...) 。【例题】
qq 为多项式，则一定可以找到多项式 pp 满足 ((x2+2x+1)p)″=q((x^{2}+2x+1)p)=q 。
pf: 如果我们假设 qq 是m阶多项式，那么 T(p)=((x2+2x+1)p)″T(p)=((x^{2}+2x+1)p) 可以看做Pm(R)P_{m}(R) 上的线性算子，因为当 p∈Pm(R)p\in P_{m}(R) ，那么乘 x2x^{2} 又二阶导数使得((x2+2x+1)p)″((x^{2}+2x+1)p) 的阶不超过m。容易证明 TT 为单射，所以 TT 为满射，也就是对任意 q∈Pm(R)q\in P_{m}(R) ， ((x2+2x+1)p)″=q((x^{2}+2x+1)p)=q 都有解。
同构的矢量空间 isomorphic vector spaces两个矢量空间 V,WV,W 之间如果存在一个同构（可逆线性变换） T:V→WT:V\rightarrow W ，则这两个矢量空间V,WV,W 同构。两个矢量空间同构某种程度上意味着它们是一样的，只是把猫叫个咪，可以这么看： VV 中的 vv ，到了 WW 中就叫 TvTv 。
同构等价于维度相同两个 FF 上的有限维矢量空间V,WV,W 同构等价于它们的维度相同。
pf：先证V,WV,W 同构 ⇒dimV=dimW\Rightarrow dim\ V=dim\ W 。 TT 是 V,WV,W 上的同构，则有 ，dimnullT=0，dimrangeT=dimWdim\ null\ T=0，dim\ range\ T=dim\ W ，再根据线性映射基本定理dimV=dimnullT+dimrangeTdim\ V=dim\ null\ T+dim\ range\ T 可得dimV=dimWdim\ V=dim\ W 。
再证 dimV=dimW⇒dim\ V=dim\ W\Rightarrow V,WV,W 同构。取VV 的一组基 v1...vnv_{1}...v_{n} 和 WW 的一组基 w1...wnw_{1}...w_{n} ，定义线性变换 T:V→WT:V\rightarrow W 为 T(a1v1+...+anvn)=a1w1+...+anwnT(a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n})=a_{1}w_{1}+...+a_{n}w_{n} ，则TT 为单射和满射，即 TT 为 V,WV,W 上的同构。
L(V,W)L(V,W) 与 Fm,nF^{m,n} 同构V,WV,W 是有限维矢量空间，则 L(V,W)L(V,W) 与 Fm,nF^{m,n} 同构， M(T)M(T) 是它们之间的一个同构。
pf: 之前已经证明过M(T)M(T) 是线性变换。 M(T)=0M(T)=0 意味着对于基 viv_{i} 有 T(vi)=0T(v_{i})=0 ，也就是 T(v)=0T(v)=0 ，所以 M(T)M(T) 为单射。对任意A∈Fm,nA\in F^{m,n} ，都可以找到满足 T(vi)=A.,iT(v_{i})=A.,i 的 TT ，所以 TT 是满射。所以， TT 是同构。
dimL(V,W)=(dimV)(dimW)dim\ L(V,W)=(dim\ V)(dim\ W)因为 L(V,W)L(V,W) 与 Fm,nF^{m,n} 同构，所以 dimL(V,W)=dimFm,n=mn=(dimV)(dimW)dim\ L(V,W)=dim\ F^{m,n}=mn=(dim\ V)(dim\ W) 。
