本
文
摘
要
格林函数本质上就是数值对角化方法大行其道以前，处理任意哈密顿量的系统性的解析方法。
对于现代学者来说可能略显陌生，因为程序语言只需要一行命令就能轻易实现对角化的处理，格林函数的使用频率当然大大缩减。但如果让你自己写一段对角化的程序，你肯定会说，算了，我们还是用格林函数吧。
对于任意一个初始波函数，一个不含时的哈密顿量，它的形式解总可以写为：
|q1⟩=exp(−iHtℏ)|q0⟩|q_1\rangle=\exp(-\frac{iHt}{\hbar})|q_0\rangle
这里的 q0,q1q_0,q_1没有特别含义，可以是任意量子数。在路径积分中它们表示粒子初末的位置。
显然，对于这样的解析形式来说，最好的处理方式就是傅立叶变换，这是现代物理最可靠的方法。不妨定义传播子
对其做傅立叶变换，就得到格林函数
引入的小量 ε\varepsilon 是用来处理谱的展宽。两边求迹，哈密顿量用本征能量表示，并由 δ(x)=−1πℑ(1x)\delta(x)=-\frac{1}{\pi}\Im (\frac{1}{x}) ，即得态密度为
解传播子及格林函数的方法很多，这里介绍一下准经典动力学的做法，即通过WKB近似给出的van Vleck传播子。令波函数为
根据玻姆力学的推导结果，密度 ρ=W2\rho=W^2 ，在坐标空间中满足流体连续性方程，因此一个点粒子在动量空间总是完全均匀分布的，即
这里C是一个常数，由初末波函数的内积来决定，加一撇表示轨迹的末态。另一方面，哈密顿主函数Γ\Gamma 满足的方程为
于是，van Vleck传播子就可表示 为
指前因子由自由粒子动能决定。
我们用路径积分来解传播子。由于点粒子模型忽略了波动性，如果要完整考虑量子性则需要严格对所有路径积分，我们尝试着将两者结合起来。为此，我们不妨做这样的假定：同一个粒子在不同的势能作用下，其量子不确定性是相同的。或者说，路径的量子涨落对相位的贡献不依赖于势能。
严格的证明这里略去，只讲一个物理的理解。由于传播子本质就是e指数上有一个作用量作为相位因子，而作用量正是对相体积的度量。一个微观粒子无论是局域的还是离域的，我们都假定其所处的某一量子态具有相同的相体积。因此，对于路径涨落部分的贡献，我们只需要研究最简单的自由粒子，就可认为其它所有的势能下，这一部分的贡献皆为相同。
于是，任意势能的传播子可定义为
这里PI表示由路径积分计算的结果，SC表示准经典计算的结果，其中自由粒子的准经典结果可直接通过令KSCK^{SC} 中的势能为0得到。由此，我们的计算可分为两步，用准经典计算得到任何势能的结果，再用路径积分得到自由粒子的结果。
先看第一步。以质量为m、频率为ω\omega 的一维简谐振子为例，要计算其经典作用量需要先确定经典轨迹。简谐振子的经典轨迹除了平庸的待在原点不动，就是标准的正弦函数，即
经过简单的积分，其经典作用量不难得到
再看第二步。自由粒子的路径积分非常简单，由于动量始终不变，并且哈密顿量中没有势能，所以其作用量可直接计算为
请注意，这里的作用量对坐标求二阶导数为0，故而与准经典的传播子产生了差异，这也是这个取巧方案能实施的原因。按照更初始的定义，直接将该作用量放到e指数上，然后对动量积分，即得
现在，我们已经有了所有需要的结果，将它们分别代入相应的公式，就可以得到简谐振子的传播子。简单起见，这里只给出 q1=q0=qq_1=q_0=q 的结果，即
虽然我们可以进一步分析这个看起来有点像高斯函数的传播子的各种性质，但读者可能会觉得这个形式并不如想像中那么简捷。为此，我们可以换一个维度，将其变到虚时间轴上。与前面讲的场论一样，做Wick旋转，则得，
再对坐标做高斯积分，就得到
这是一个多么完美的结果！我们完全通过路径积分的计算严格导出了玻色-爱因斯坦统计的配分函数！
在传统统计物理的诠释中，量子统计本应是大量微观粒子表现出的集体行为，这里却是单个自由度的简谐振子所给出的结果。这里，通过格林函数的推导，不仅再次反映了原子振动作为玻色子的事实，为对其的简化铺路，也清晰地展现出了温度的微观本质。它不是大量粒子的平均动能，而是时间的另一个维度，是自然界另一个传播的方向。控制其传播的是同一个物理量，即作用量，它通过e指数的相位因子来影响不同微观状态在传播过程中所占的权重，经典统计的概率与量子力学的概率有了更加统一的表达。
