本
文
摘
要
格林公式阐述了一个简单而又重要的物理事实，守恒。
比如，打台球：
它的能量守恒是这样的：
击球的能量产生在桌面上，所以调整一下守恒式，就得到了格林公式：
下面让我们一步步建立物理模型来解读上面的描述，并推导出格林公式。
本人不才，下面的物理都主要重视直观理解，不求严格性，恳请物理大咖指点纠正。
1 关于旋转的物理问题
在剑桥大学的小路上，正在思考的乔治·格林被一个学生拦住了，学生愁眉苦脸的说：“老师，您好，有个问题我一直没有想清楚，您帮我合计合计。”
学生继续说道：“这个问题就是，我应该怎么去分析水流中，螺旋桨的做功情况？”
“这是一道应用题，”格林眉毛一拧：“肯定是先建模啊。”
2 模型的建立
首先，水流作用到螺旋桨上，表现为力，因此先把水流转为力场F→=Pi→+Qj→\vec{F_{}}=P\vec{i_{}}+Q\vec{j_{}} ：
把这样的螺旋桨：
抽象一下，放入到力场中去，就会旋转起来（手动移动下螺旋桨的位置，还会发现在不同的位置旋转速度不一样）：
此处有互动内容，点击此处前往操作。进一步简化一下，我们只研究其中某一个点的在旋转中的做功：
等价于研究某一点在圆形路径上的做功：
格林说：“问题就被转化为了沿路径做功了，我们看看物理层面怎么解答。”
3 物理的解答
3.1 旋转方向与有向路径
首先，规定逆时针旋转为正方向：
旋转有了方向之后，此点走过的路径也就有了方向，我们称为“有向路径”。
根据旋转的正方向，就可定义点走过的路径的正方向：
点要是反着转，那么走过的路径自然就是 L−L^- 。
3.2 做功分析
根据微积分的思想，我们把路径切成无数个微小的曲线段：
根据我们已知的两个知识（已知的意思，其实是我不想解释了）：
根据微积分“以直代曲”的思想，这些微小的曲线段可以用切线来代替根据物理知识，我们知道，力只在路径方向做功结合上述两点，我们可以得到，每个微小的曲线段上做的功为：
那么，很明显，整段封闭曲线做功可以表示为如下：
∮L+F→⋅dr→\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}}
“哇，清晰多了！”同学搓搓手，递上一只大前门香烟：“老师，可是怎么计算呢？”
格林抽出笔来，刷刷地写道：“就这么算！”
4 数学计算
4.1 矢量形式转为标量形式
矢量形式 ∮L+F→⋅dr→\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}} 不太好计算，让我们转为标量形式。
根据我们一元微积分的知识，我们知道 dr→d\vec{r_{}} 在 i→,j→\vec{i_{}},\vec{j_{}} 方向的分量为：
那么，有 F→=Pi→+Qj→\vec{F_{}}=P\vec{i_{}}+Q\vec{j_{}} 和dr→=dxi→+dyj→d\vec{r}=dx\vec{i}+dy\vec{j} ，所以， F→⋅dr→=Pdx+Qdy\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}}=Pdx+Qdy ，所以：
∮L+F→⋅dr→=∮L+Pdx+Qdy\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}}=\oint _{L^+}Pdx+Qdy
4.2 非常简单的加减运算
我们给出一个简单的力场，这个力场的特点是：
只有水平方向的力在同一个垂直高度上，力的大小一样随着垂直高度的增加，力逐渐减小画出来就是这样的（矢量的方向表示力的方向，矢量的长度表示力的大小）：
计算在此力场中，某点围绕正方形路径一圈所做的功，已知：
正方形边长为3上边受力大小为1，下边受力大小为4力与左右两边垂直，所以在这两边不做功如图：
所以，算出某点围绕正方形路径一圈所做的功为：
把正方形均分为9宫格，每块都是变长为1的正方形，每条正方形的边所在力场的大小我也标注在图里了：
可见，两种运算方法得到的结果都是一样的。
这是一个简单的演算，可以推广为，任意的路径边界上的功，等于路径围成的区域内的所有微分矩形（矩形也符合“以直代曲”的微积分思想）的边界上的功之和：
这也就是我刚开始说的守恒，虽然功和能量还不是一回事，不过也算紧密相关，允许我这个物理民科这么去直观理解。
4.3 计算微小矩形边界上的功
怎么计算微分矩形上做的功呢？让我取一个微分矩形出来，我把矩形的边和顶点、以及矩形的区域都标注出来了：
下面是代数推断了，我觉得过程还是很清晰明了的。
首先，注意到在 L_1^+,L_3^+ 上 dy 为0（因为 y 方向没有变化）， L_2^+,L_4^+ 上 dx 为0，然后我们继续推下去：
\begin{align*} \oint _{L^+}Pdx+Qdy& =\int _{L_1^+}Pdx+\int _{L_2^+}Qdy+\int _{L_3^+}Pdx+\int _{L_4^+}Qdy\\ & =\int _{a_0}^{a_1}P(x,b_0)dx+\int _{b_0}^{b_1}Q(a_1,y)dy+\int _{a_1}^{a_0}P(x,b_1)dx+\int _{b_1}^{b_0}Q(a_0,y)dy\\ & =\int _{b_0}^{b_1}[Q(a_1,y)-Q(a_0,y)]dy+\int _{a_0}^{a_1}[P(x,b_0)-P(x,b_1)]dx\\ & =\int _{b_0}^{b_1}\int _{a_0}^{a_1}\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy-\int _{a_0}^{a_1}\int _{b_0}^{b_1}\frac{\partial P}{\partial y}dydx\\ & =\int _{b_0}^{b_1}\int _{a_0}^{a_1}[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}]dxdy\\ & =\iint _{D_1}[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}]dxdy \end{align*}
微分矩形的边界做功求出来了，结合我们之间的结论，边界的做功＝微分矩形做功之和我们可以得到最终的结论：
\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}}=\oint _{L^+}Pdx+Qdy=\iint _{D}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy
其中 D 为 L^+ 围成的区域。
同学之前听得屏息凝视，现在才有机会长出了口气：“真是精彩啊！”
格林反问道：“你知道 \oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{n_{}} 会得到什么吗？”
d\vec{n_{}} 是法向量。
5 通量
\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}} 代表力在运动方向做功，但是力并不会在与运动的垂直方向做功，那么 \vec{F_{}}\cdot d\vec{n_{}} 代表了什么？
如果把 \vec{F_{}} 看作流速，或者电流密度，那么 \vec{F_{}}\cdot d\vec{n_{}} 就在流体力学、电磁学中被称为通量。
关于通量更详细的可以看我另外一个回答 散度和旋度的物理意义是什么 ，其中回答了为什么是法向量方向。
比如，对于我们头顶上的太阳：
我们要计算穿过（包括射出和进入）太阳表面的能量总量：
这就是通量，记作：
\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{n_{}}
太阳内部时时都在发生核聚变，以及其他的能量活动：
根据能量守恒，内部的能量总量，必然等于穿过太阳表面的能量总量。
也就是说，通量和内部能量总量相等。
定了这个基调之后，然后按照之前分析做功的方式，最终我们可以得到：
\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{n_{}}=\oint _{L^+}Pdy-Qdx=\iint _{D}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}dxdy
格林说完之后，突然发现，自己发现了不得了的东西，对于数学有重要的意义，相当于把封闭曲线的线积分转为了二重积分。所以，赶快去发表论文吧。
6 总结
乔治·格林（1793 — 1841），英国科学家，格林公式的发明者。
根据不同的物理意义，格林得到了两种格林公式的形式：
做功的形式（电磁学、流体力学也可以把 \vec{F_{}} 看作流速，下面就称为环流量）：
\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{r_{}}=\oint _{L^+}Pdx+Qdy=\iint _{D}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy
通量的形式：
\oint _{L^+}\vec{F_{}}\cdot d\vec{n_{}}=\oint _{L^+}Pdy-Qdx=\iint _{D}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}dxdy
旋度和散度也出现在公式中了。
本文轻度调侃了乔治·格林，并非不敬。在我眼中科学家才是真正的英雄，希望我可以写出这些科学大咖风采的一二，借用《红楼梦》中的一句话，但使大家知道“科学界历历有人”。
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