30度40度20度50度求顶角（40度60度80度三角形几何题）

学习阶段：初中数学，高中数学。

前置知识：平面纯几何，三角变换与解三角形。

最近在知乎经常看到这道题，我在此整理一下我的解法。

1. 题目

如图1所示，已知角度均已标明，求 ∠BCD\angle BCD .

图1 题图

2. 题目正确性分析

待求的是角度，角度具有平移、放缩不变性。首先固定 ABAB 边，作 40∘40^\circ 与 20∘20^\circ 度角找到点 DD ，再接着作 30∘30^\circ 与 50∘50^\circ 角找到点CC ，联结 CDCD ，此时每个角度都是固定的。因此这是一道正确的题目，待求的角度确实有一个确定的值，不是脑筋急转弯什么的。

但是这题的确有难度，光通过角度关系是不可能求解的，一定要利用到边角关系。接下来，我给出解三角形（高中）与纯几何（初中）两种解法。

3. 解三角形

设待求的角为 θ\theta ，设 AD=a,BD=b,CD=cAD=a,\quad BD=b,\quad CD=c ，由正弦定理得

asin⁡20∘=bsin⁡40∘\frac a{\sin20^\circ}=\frac b{\sin 40^\circ}

bsin⁡θ=csin⁡50∘\frac b{\sin \theta}=\frac c{\sin50^\circ}

csin⁡30∘=asin⁡(40∘−θ)\frac c{\sin30^\circ}=\frac a{\sin(40^\circ-\theta)}

三式全部相乘得到

sin⁡20∘sin⁡θsin⁡30∘=sin⁡40∘sin⁡50∘sin⁡(40∘−θ)\sin20^\circ\sin\theta\sin30^\circ=\sin40^\circ\sin50^\circ\sin(40^\circ-\theta)

2sin⁡10∘cos⁡10∘sin⁡θ×12=12sin⁡80∘sin⁡(40∘−θ)2\sin10^\circ\cos10^\circ\sin\theta\times\frac12=\frac12\sin80^\circ\sin(40^\circ-\theta)

sin⁡10∘sin⁡θ=12(sin⁡40∘cos⁡θ−cos⁡40∘sin⁡θ)\sin10^\circ\sin\theta=\frac12(\sin40^\circ\cos\theta-\cos40^\circ\sin\theta)

2sin⁡10∘=sin⁡40∘cot⁡θ−cos⁡40∘2\sin10^\circ=\sin40^\circ\cot\theta-\cos40^\circ

cot⁡θ=2sin⁡10∘+cos⁡40∘sin⁡40∘\cot\theta=\frac{2\sin10^\circ+\cos40^\circ}{\sin40^\circ}

=2sin⁡10∘+32cos⁡10∘−12sin⁡10∘12cos⁡10∘+32sin⁡10∘=3=\frac{2\sin10^\circ+\frac{\sqrt3}2\cos10^\circ-\frac12\sin10^\circ}{\frac12\cos10^\circ+\frac{\sqrt3}2\sin10^\circ}=\sqrt3

故 θ=30∘\theta=30^\circ .

4. 纯几何法

4.1 来自 @xyan 的纯几何法

目前这是我所发现的本题最简洁的纯几何法。

图2 来自 @xyan 的纯几何法

如图2所示，延长BD，交AC于点E；过C作AB的垂线，垂足为F；过点D作DP//AB，作∠ABP=40°，DP与CF交于点G，联结CP.

易知四边形ABPD为等腰梯形，故AD=BP.

易知∠ABD=∠BDP=∠DBP=20°，故BP=DP=AD.

因为等腰△ABC三线合一，故CF是AB和DP的对称轴，故DG=DP/2，DG⊥CF.

易知∠AEB=90°，ED=AD/2（定理：30°角所对直角边为斜边一半。），故ED=AD/2=DP/2=DG；又因DE⊥AC且DG⊥CF，故CD平分∠ACF，故∠ACB被分成的四个角均相等，各为10°，故∠BCD=30°.

4.2 我原创的纯几何法

图3 我原创的纯几何法

如图3所示，延长 BDBD 交 ACAC 于 EE ；作 ∠ACB\angle ACB 的角平分线，交 ABAB 于 FF ；过 DD 作 DG⊥CF,DI⊥ABDG\bot CF,DI\bot AB ，垂足为G,IG,I ；取 ADAD 中点为 HH ，联结 HI,HFHI,HF .

易知 ED=12AD=HIED=\frac12AD=HI （定理：30°角所对直角边为斜边一半。定理：斜边中线为斜边一半），四边形DIFGDIFG 为矩形，那么 DG=IFDG=IF .

由于 HH 是 ADAD 中点， FF 是 ABAB 中点，故 HF//DBHF//DB ， ∠HFI=20∘\angle HFI=20^\circ . 因为∠DIH=∠IDH=50∘\angle DIH=\angle IDH=50^\circ ，故 ∠HIB=50∘+90∘=140∘\angle HIB=50^\circ+90^\circ=140^\circ ，得∠FHI=∠HFI=20∘\angle FHI=\angle HFI=20^\circ ，那么 IF=IH=DG=DEIF=IH=DG=DE .

由于 DE⊥ACDE\bot AC 且 DG⊥CFDG\bot CF ，故CDCD 平分 ∠ECG\angle ECG ，故 θ=12×20∘+20∘=30∘\theta=\frac12\times20^\circ+20^\circ=30^\circ .

5. 总结

这一类问题被称为角格点问题，一般都是用几个整数角恰好构建另一个整数角，且许多角都不是 30∘,45∘,60∘30^\circ,45^\circ,60^\circ 这种特殊角，难以找到边角关系。通用解法是解三角形，计算较难，计算量较大；而纯几何法更为优雅，辅助线的构建较难，推理较复杂。

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