本
文
摘
要
这是个老生常谈的问题，我的本意也是不必单独拿出来说。但是昨天实在有太多人自以为看懂了我的回答[1]，而这种不明事理的原因可以用不懂数学解释，不过这也不是全部的原因。
说到底，数学是采取如何讲道理的方法，来回答为什么要讲道理的学科。其实这两个问题并不专属于数学，甚至我认为在学数学之前，必须经历过这两个提问才行。接下来我给你讲讲那些人如何不讲道理，你可能会看不见他们，是因为都被我和谐了。
虽然我一直说现在的数学教学还不够深，但是也要强调两件事，不是所有人都适合学那么多数学，即便一个人适合，也不是在所有年龄都适合。我觉得通过语文课，你应该知道在并列形式的语句中，往往最后一个是作者最想强调的。整个回答的核心观点是不要在不适合的年龄强行灌输数学，而不是一个人适合学多少数学，更不是很多人不适合学数学。连这个都读不出来，看来高考语文不过 100 也不足为奇了。
曾经我总是告诉别人近现代数学的门槛没有那么高，如今我必须说数学本身有一个不太低的门槛是语言，还有一个是科学思想。大多数人在小学时因为没有足够的生活经历和智力发育，是不能理解数学的，所以非要在小学教数学，还要求人家做难题，并不合适。
小学生听到别人说自己长高了，然后问什么叫高；听到别人说出去一趟，等几分钟，然后问什么叫几分钟。这叫生活经历，也是语言。小学生注意到瓶盖拧不开，垫块布就能拧开了，然后问为什么，后来听说了摩擦力，这就是最早的对科学的印象。见识多了就会试图用自己获得的知识来解释和预测事情，渐渐地明白科学的作用。
为了更有把握地、更精确地解释和预测，我们需要一个工具就是数学。力学的三大基本物理量是质量、长度和时间，通过长时间的摸索，认识到这些量都要用实数表达才行。更多的物理量如何确定和表达，就要用微积分了。
在一个人没有经历过这些思考的时候，你为什么非要强迫他学数学呢？不仅学数学，还要在讲不清楚何为十进制的情况下，让他学会进位退位。我称之为后患无穷，居然还有人问我有什么后患。不就是建立不了科学和数学观念吗？
从小就在不明事理的熏陶下学习，这不就解释了为什么成年了都理解不了数学不是自然科学，数学研究不等价于计算。将计算微积分作为爱好没什么大碍，但是更多的人是认为计算微积分就是在研究数学。如此下去，称之为后患无穷当然没有任何问题。
学了数学，你就会最深刻地体会到为什么要讲道理，因为发现朴素的直觉不靠谱，必须纠正。有界不一定有最值，例如开区间(0,1);\left(0,1\right); 连续不一定可导，例如绝对值函数；可偏导不一定可微，甚至各方向导数都为零也不一定能将水平面作为切平面[2]。
曾经有人讽刺法国小学生不会算 2+3，只知道 2+3=3+2，但是在我看来，这根本不是坏事，因为计算器会告诉你 2+3=5，却不能告诉你自然数的加法成立交换律。这就像在地理学中，明白温带季风气候的形成条件比记住北京的经纬度重要。如果你学了一些近代的代数学，就不可能不知道为什么加法交换律比计算两个自然数的和更重要。数学要讲的道理，绝不仅仅是定理本身，更是一些观念上的、不经过理论推导的东西。除了这个简单的例子，我格外强调对于近代几何学思想的大众化[3]，它的一个直接意义就是让人理解数学是一个整体，必须动用各种看似无关的理论和思想看待问题。
至于那些通过这个示例联想到一些教育领域的文章崇洋 *** 的，我很难确定有什么值得说的。这样的人，恐怕就和我一开始说的由于经历太少而不适合学数学的小学生无异吧。
所以说，到底数学教育应该教什么呢？必须教那些即便写在教科书上学生也不倾向于主动去看的东西，特别是那些违背直觉的东西。违背直觉必定是让人不愉快的，所以我说如果你没有得罪学生，肯定不是好的数学老师。更进一步，好的数学教育绝不可能在市场中获胜。
如果你觉得我讲的这些是好听的，就说明你不是最迫切需要被教育的人。只有那些不习惯于讲道理的人，也是最爱夸夸其谈的人，才是最需要被强行堵着不让说的，也是最需要被教育的。
