本
文
摘
要
题记
宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。
--华罗庚
大家好！我是小刘同学！
从今天开始，我要尝试围绕着一个主要知识点或是主要思想观点，连续分享三道题目，而不是再像之前那样一篇发文只讲一道数学题。
这里我初步探讨总结出解数学几何证明题的一般步骤，简单说，我认为应当是这样的三个环节：
（1）审题作图，并在图上把题目所给全部条件都标记出，方便直观找寻它们之间的联系和其它能推导出的条件；
（2）反向逆推法，即由题目所要求解的问题开始思考，反向推导出哪些内容是解决该问题所需要的一系列条件，而这些条件哪些又是题目已给出的，哪些又需要我进一步从已知条件中重新证明以获得；
（3）正向论述解答，这与前一步在逻辑思考顺序上正好相反，即我在实际书写答题时，是要将解题的那一系列条件，分步一个个地给出来，不论它是题目已知的或是证明出的，就好像是搭积木一样，最后人们看到的才是一个完整的形体。
以上步骤的主要思想逻辑，简言之就是要在题目所求问题与其所给的已知条件间搭建起一座连接的桥梁，通过这座桥梁来找寻到最后的答案。而参与这项工程的我们，正是这座桥梁的设计建造师。
现在我结合具体题目来进行说明：
第一题
请看题：如图，在△ABC中，线段CD平分∠ACB交线段AB于点D，过点D作线段DE平行BC交AC于点E。若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为多少？
这道题是很简单的，只是初学者一看到题目中这样那样的符号或代数，脑袋就早已经慌掉了。其实题目所给的已知条件越多，才越对我们解题有利，从这个角度说，题目越长才越好，心中应该窃喜，而不应该是恐慌。因为只要将这些已知条件都一一放入图中，题目里费了那么多数学符号和代数想要描述的整个面貌，就都将全部直观呈现在我的眼前。不信您瞧！如下图：
我们的解答过程是：如图，在△ABC中，
首先因为∠A=54°，∠B=48°，这是题目已知的，所以根据“三角形的内角和为180°”，可知∠ABC是等于180°减去∠A和∠B，可算得∠ABC=180°-54°-48°=78°；
其次，题目已知CD平分∠ACB交AB于点D，所以根据三角形的角平分线定义，可知∠BCD与∠ACD是相等的，都是∠ACB的一半，即∠BCD=78°×½=39°；
最后又由于题目已知的DE平行BC，我们根据“两直线平行，内错角相等”可判断出∠CDE=∠BCD=39°。
第二题
通过对第一题的学习，要记住：题目告诉你平行，就是在告诉你角的关系。所以说，告诉你什么已知条件，你就要找出它们之间的所有相互关系，这样才能找对正确的解题思路。
第一题的解题思路正是依据角的关系，那么我们在第二题，就尝试分别从角的关系和等量关系这两个方向去解题。
请看题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B=30°，∠ADC=70°，则∠C的度数是多少？
我们再按照解几何题三个环节的递进顺序，先审题作图，如下：
①从角的关系
我们的解答过程是：如图，在△ABC中，
因为题目已知∠ADC=70°，且我们知道平角的定义是一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角，1平角=180°，那么作为其补角的∠ADB也就是180°-70°=110°。
这时，又因为题目已知∠B=30°，我们再根据“三角形的内角和为180°”，得出∠BAD为180°-∠B-∠ADB=180°-30°-110°=40°。
接着，依据题目中AD平分∠BAC交BC于点D，也就是说AD是∠BAC的角平分线，可知∠CAD=∠BAD=40°。
最后，我们再依据题目所给的∠ADC=70°，用“三角形的内角和为180°”的规律，就可以得出∠C=180°-∠ADC-∠CAD=180°-70°-40°=70°。
如此一来，这道题就以相当简单的方式解出了。不过，这看来也只是在重复套用小学生都明白的三角形性质，请问还能有更高级的思路吗？当然！
②从等量关系
我们的解答过程是：如图，在△ABC中，
可以看出来的是，题目所要求的∠C，正是较大的△ABC与包含在其中的较小△ADC的公共角。那么结合题意，就能根据两个三角形之间的等量关系，运用设未知数X的办法列出解题方程式，将图形问题转化成数学方程问题来解决。
依据题目中AD平分∠BAC交BC于点D，也就是说AD是∠BAC的角平分线，我们可设∠CAD=∠BAD=X；又知道∠B=30°，∠ADC=70°，用“三角形的内角和为180°”的规律，则可列出如下方程：180°-30°-2X=180°-70°-X，解得X=40°。
那么到了这一步，我们同样地，依据题目所给的∠ADC=70°，用“三角形的内角和为180°”的规律，得出∠C=180°-∠ADC-∠CAD=180°-70°-40°=70°。答案一致！
第三题
作为结束，我们最后思考一道稍难的题目吧。
请看题：如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC=4cm²，则S△BEF等于多少？
我们发现在△ABC中的多个小三角形的特征是同底等高，如下图：
我们的解答过程是：根据三角形的中线平分三角形的面积，得S△BCE=S△BDE+S△CDE=½S△ABD+½S△ACD=½S△ABC=½×4cm²=2cm²，从而S△BEF=½S△BCE=½×2cm²=1cm²。
这道题不是恰如华罗庚所说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。可见我初步探讨总结出的解数学几何证明题一般步骤，是有指导意义的。
谢谢大家，下回再见！
