二次型标准化的几何意义（化二次型为标准型的三种方法）

方法一： 正交变换法

定理 任意实二次型 f=xTAxf=\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x} 都可经过正交变换化为标准形，并且标准形中的平方项的系数就是矩阵 A\mathbf{A} 的全部特征值.

具体步骤如下：

（1）将 nn 元实二次型表示成矩阵形式 f=xTAx f=\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} ，得到二次型的矩阵 A\mathbf{A}；

（2）求出正交矩阵Q\mathbf{Q} ，使得 QTAQ\mathbf{Q}^T\mathbf{A}\mathbf{Q} 为对角阵；

[1] 计算矩阵 A\mathbf{A} 的全部特征值. 设 λ1,λ2,⋯,λs\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s 是矩阵A\mathbf{A} 的全部互异特征值，它们的重数依次为

n1,n2,⋯,ns(n1+n2+⋯+ns=n)n_1,n_2,\cdots,n_s (n_1+n_2+\cdots +n_s=n) .

[2] 对每个 nin_i 重特征值 λi\lambda_i ，求⽅程组 (λiE−A)x=0(\lambda_i\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=\mathbf{0} 的基础解系，得到nin_i 个属于特征值 λi\lambda_i 的

线性⽆关特征向量 xi1,xi2,⋯,xini\mathbf{x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{in_i}}.

[3] 若 λi\lambda_i 是单根，则将属于特征值 λi\lambda_i 的线性⽆关特征向量 xi1\mathbf{x_{i1}} 单位化，得到εi1\varepsilon_{i1} ;

若 λi\lambda_i 是 1">ni>1n_i>1 重特征值，则将属于特征值 λi\lambda_i 的线性⽆关特征向量 xi1,xi2,⋯,xini\mathbf{x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{in_i}} 正交

化、单位化（即进行施密特正交化）, 得到 nin_i 个两两正交的单位特征向量 εi1,εi2,⋯,εini\varepsilon_{i1},\varepsilon_{i2},\cdots,\varepsilon_{i{n_i}} .

[4] 因 n1+n2+⋯+ns=nn_1+n_2+\cdots +n_s=n ，故总共可得 nn 个两两正交的单位特征向量. 取正交矩阵

Q=(ε11,ε12,⋯,ε1n1,ε21,ε22,⋯,ε2n2,⋯,εs1,εs2,⋯,εsns)\mathbf{Q}=(\varepsilon_{11}, \varepsilon_{12}, \cdots, \varepsilon_{1 n_{1}}, \varepsilon_{21}, \varepsilon_{22}, \cdots, \varepsilon_{2 n_{2}}, \cdots, \varepsilon_{s 1}, \varepsilon_{s 2}, \cdots, \varepsilon_{s n_{s}}) ,

它满足

QTAQ=Q−1AQ=diag(λ1,⋯,λ1⏟n1,λ2,⋯,λ2⏟n2,⋯,λs,⋯,λs⏟ns)\mathbf{Q^TAQ=Q^{-1}AQ}=diag(\underbrace{\lambda_1,\cdots,\lambda_1}_{n_1}, \underbrace{\lambda_2,\cdots,\lambda_2}_{n_2},\cdots, \underbrace{\lambda_s,\cdots,\lambda_s}_{n_s}) .

（3）令正交变换 x=Qy\mathbf{x=Qy} ，则它将原二次型 ff 化为标准形.

例1 用正交变换法化实二次型

f=x12+2x22+x32+2x1x2+2x2x3f=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}

为标准形, 并求出相应的正交变换.