本
文
摘
要
前言
我们知道函数是输入自变量，输出因变量的一种对应关系。
那么如果我们想要把函数画出来，就需要同时表示自变量和因变量两个值。
这个问题被法国数学家笛卡尔所解决，所使用的方法也因此用笛卡尔命名。
平面直角坐标系
为了表示自变量和因变量两个值，笛卡尔选择使用两条数轴，一条横的一条竖的，让两条数轴在原点相交，并且互相垂直。
这样平面上的每一个点，就能够分别对应横向和纵向的两个数了。
这被叫做平面直角坐标系，或者笛卡尔坐标系。
探索：坐标系可不可以不垂直？（非正交坐标）
探索：除了两条数轴，还能有别的坐标系吗？（极坐标）
探索：如果把一个坐标当作数，可以建立计算规则吗？（向量）
可以看到平面被两条数轴切成了四部分，也叫四个象限，我们把x轴和y轴都是正半轴的部分叫做第一象限，逆时针依次是第二三四象限。
练习：在平面直角坐标系上表示 (0,1),(−12,3),(2,−1)(0,1),(-\displaystyle\frac{1}{2}, 3), (2,-1) ，并说明它们在第几象限。
函数图像
通常我们把横轴叫做x轴，表示自变量，纵轴叫做y轴，表示因变量。
我们知道数轴可以表示所有的实数，所以只要把x轴每个x对应的函数值在y轴上表示出来就行，即画出所有的(x,y(x))(x, y(x)) 。
例如对于函数y(x)=1，我们知道不管x是多少，函数值都是1，所以得到图像如下：
可以看出，任何的x对应的y值都是1，也就是函数y(x)=1。
如果函数的定义域有限制，那么我们就只画有定义的部分，例如 y(x)=−2x,x≥0y(x)=-2x,x\geq 0 ，定义域要求x非负，我们就只画非负的部分，得到：
我们可以用图像表示许多函数，例如y(x)=x34−2x+x−1x+3y(x)=\displaystyle \frac{x^3}{4}-2x+\sqrt{x}-\frac{1}{x}+3 ：
探索：各种有趣的函数图像。
一次函数的图像
接下来我们着重讨论一次函数的图像。
把一次函数画出来，可以发现一次函数在平面直角坐标系上都是一条直线。例如y(x)=x+1的图像如下：
我们知道两个数据能够确定一次函数，而在几何上，我们定义两点确定一条直线。
探索：如何证明一次函数图像是一条直线？
练习：在同一个坐标系内画出 y1(x)=−12x,y2(x)=2x−3,y3(x)=−x+3y_1(x)=-\displaystyle\frac{1}{2}x, y_2(x)=2x-3, y_3(x)=-x+3 。
再观察y(x)=x-2的图像，发现改变常数项b的大小，会导致函数图像保持形状不变移动，这也被叫做平行移动：
同时常数项b等于直线和y轴的交点位置，所以也被叫做y轴截距。
如果b是正数，直线就在原点上方，否则就在原点下方。
如果是正比例函数，b=0，直线正好经过原点。
再来看比例系数k，当y(x)=2x+1时，得到：
可以发现，改变k会导致直线的倾斜程度变化，k也因此被叫做斜率，斜率越大函数的变化就越快，图像也就越陡峭。
而当k变成负数，例如y(x)=-x+1，得到如下图像：
当k是正数时，y轴的函数值随着x轴的x值一起变大，图像从左下到右上，从第三象限到第一象限。
而当k是负数时，y轴的函数值随着x轴的x值变大而减小，图像从左上到右下，从第二象限到第四象限。
探索：直线的几何性质，如平行、垂直、相交，与一次函数有什么联系？
探索：所有直线都能用一次函数表示吗？
练习：用表格描述不同k，b条件下，一次函数的性质和图像。
函数图像和方程
对于一个一元一次方程，我们总是可以通过移项，让一边变成0，得到ax+b=0的形式。
如果把左边看成一个一次函数，那么解方程就是在求这个一次函数什么时候等于0，我们把这些使得函数值为0的x，叫做零点。
从几何上来说，这就是求f(x)=ax+b和g(x)=0这两条直线的交点。
尾声
函数图像是数形结合的重要体现，虽然一次函数的图像十分简单，但却是把代数和几何联系起来的基础，从此开始发展出了解析几何。
到了高中数学，几何部分主要考察的就是解析几何。而从整个数学界来看，更为抽象的代数几何（当然这不是代数、几何）也一直是学术的热门方向。
预习：和一次函数相比，例如 y(x)=x2y(x)=x^2 这样的二次函数会是什么样的？
