导数的计算方法技巧（导数的计算方法及其应用的研究背景）

一.基本初等函数的导数公式

(C)′=0{\left( C \right)^\prime } = 0

(xμ)′=μxμ−1,(x)′=1,(x)′=12x,(1x)′=−1x2{\left( {{x^\mu }} \right)^\prime } = \mu {x^{\mu - 1}},{\left( x \right)^\prime } = 1,{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = {1 \over {2\sqrt x }},{\left( {{1 \over x}} \right)^\prime } = - {1 \over {{x^2}}}

(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x{\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x,{\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x

(tan⁡x)′=1cos2x,(cot⁡x)′=−1sin2x{\left( {\tan x} \right)^\prime } = {1 \over {{{\cos }^2}x}},{\left( {\cot x} \right)^\prime } = - {1 \over {{{\sin }^2}x}}

(ax)′=axln⁡a,{\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\ln a,(ex)′=ex{\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}

(logax)′=1xln⁡a,(ln⁡x)′=1x{\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = {1 \over {x\ln a}},{\left( {\ln x} \right)^\prime } = {1 \over x}

(arcsin⁡x)′=11−x2,(arccos⁡x)′=−11−x2(arctan⁡x)′=11+x2,(arccotx)′=−11+x2(arcsecx)′=1xx2−1,(arccscx)′=−1xx2−1\eqalign{ & {\left( {\arcsin x} \right)^\prime } = {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }},{\left( {\arccos x} \right)^\prime } = - {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} \cr & {\left( {\arctan x} \right)^\prime } = {1 \over {1 + {x^2}}},{\left( {{\mathop{\rm arccot}\nolimits} x} \right)^\prime } = - {1 \over {1 + {x^2}}} \cr & {\left( {{\mathop{\rm arcsec}\nolimits} x} \right)^\prime } = {1 \over {x\sqrt {{x^2} - 1} }},{\left( {{\mathop{\rm arccsc}\nolimits} x} \right)^\prime } = - {1 \over {x\sqrt {{x^2} - 1} }} \cr}

二.一些重要的高阶导数公式

n} \right)">(xμ)(n)=μ(μ−1)⋯(μ−n+1)xμ−n,(xn)(n)=n!,(xn)(m)=0(m>n){\left( {{x^\mu }} \right)^{\left( n \right)}} = \mu \left( {\mu - 1} \right) \cdots \left( {\mu - n + 1} \right){x^{\mu - n}},{\left( {{x^n}} \right)^{\left( n \right)}} = n!,{\left( {{x^n}} \right)^{\left( m \right)}} = 0\left( {m > n} \right)

(ax)(n)=ax(ln⁡a)n,(ex)(n)=ex{\left( {{a^x}} \right)^{\left( n \right)}} = {a^x}{\left( {\ln a} \right)^n},{\left( {{e^x}} \right)^{\left( n \right)}} = {e^x}

(sin⁡x)(n)=sin⁡(x+n⋅π2),(cos⁡x)(n)=cos⁡(x+n⋅π2){\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + n \cdot {\pi \over 2}} \right),{\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + n \cdot {\pi \over 2}} \right)

[sin⁡(ax+b)](n)=ansin⁡(ax+b+n⋅π2),[cos⁡(ax+b)](n)=ancos⁡(ax+b+n⋅π2){\left[ {\sin \left( {ax + b} \right)} \right]^{\left( n \right)}} = {a^n}\sin \left( {ax + b + n \cdot {\pi \over 2}} \right),{\left[ {\cos \left( {ax + b} \right)} \right]^{\left( n \right)}} = {a^n}\cos \left( {ax + b + n \cdot {\pi \over 2}} \right)

(1ax+b)(n)=(−1)nann!(ax+b)n+1{\left( {{1 \over {ax + b}}} \right)^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{{{a^n}n!} \over {{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}

[ln⁡(1+x)](n)=(11+x)(n−1){\left[ {\ln \left( {1 + x} \right)} \right]^{\left( n \right)}} = {\left( {{1 \over {1 + x}}} \right)^{\left( {n - 1} \right)}}

三.某点处的导数

1，计算某点处的导数值使用导数的定义计算，如：计算f(x){f\left( x \right)}在点x=x0x = {x_0}处的导数值，则为f′(x0)=limx→x0⁡f(x)−f(x0)x−x0f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}}，利用导数的定义，将某点处的导数计算转化为极限的计算；

2，任意点处的导数：f′(x)=limh→0⁡f(x+h)−f(x)hf\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)} \over h}；

3，利用导数定义计算导数，需注意分子分母变量上的对应；

4，某点处导数存在，则左右导数均存在且相等；

5，某点处的导数值即为函数在该点处的切线斜率值，法线过该点且与切线垂直；

6，可导必连续，连续未必可导，可导函数的导数未必连续；

7，利用某点处导数的定义可以计算一些极限。

四.导数与微分的四则运算

1，导数的四则运算

(u±v)′=u′±v′(uv)′=u′v+uv′(Cu)′=Cu′(uv)′=u′v−uv′v2\eqalign{ & {\left( {u \pm v} \right)^\prime } = u \pm v \cr & {\left( {uv} \right)^\prime } = uv + uv \cr & {\left( {Cu} \right)^\prime } = Cu \cr & {\left( {{u \over v}} \right)^\prime } = {{uv - uv} \over {{v^2}}} \cr}

2，微分的四则运算

d(u±v)=du±dvd(Cu)=Cdud(uv)=udv+vdud(uv)=vdu−udvv2\eqalign{ & d\left( {u \pm v} \right) = du \pm dv \cr & d\left( {Cu} \right) = Cdu \cr & d\left( {uv} \right) = udv + vdu \cr & d\left( {{u \over v}} \right) = {{vdu - udv} \over {{v^2}}} \cr}

五.反函数的求导

设x=g(y)x = g\left( y \right)是函数y=f(x)y = f\left( x \right)的反函数，当y0=f(x0){y_0} = f\left( {{x_0}} \right)时，有g′(y0)=1f′(x0)g\left( {{y_0}} \right) = {1 \over {f\left( {{x_0}} \right)}}.

涉及到反函数的问题可以画图象解决，互为反函数的两个函数的图像关于直线y=xy = x对称。

六.复合函数的求导（链式法则）

对于复合函数y=f[g(x)]y = f\left[ {g\left( x \right)} \right]，其导数为y′=f′[g(x)]⋅g′(x)y = f\left[ {g\left( x \right)} \right] \cdot g\left( x \right)，也即dydx=dydg⋅dgdx{{dy} \over {dx}} = {{dy} \over {dg}} \cdot {{dg} \over {dx}}（链式法则），弄清复合关系，一层层求导即可。

七.隐函数的求导

方法一：对方程两边直接对变量求导

对于给定的隐函数方程F(x,y)=0F\left( {x,y} \right) = 0，两边同时对x求导，这里的yy是关于xx的一个表达式，因此在求导过程中对yy的导数需看为复合函数的求导。

方法二：使用隐函数的求导公式

对于给定的隐函数方程F(x,y)=0F\left( {x,y} \right) = 0，我们有dydx=−FxFy{{dy} \over {dx}} = - {{{F_x}} \over {{F_y}}}。

方法三：微分法

对于给定的隐函数方程F(x,y)=0F\left( {x,y} \right) = 0，两边同取微分dd，结合微分的四则运算，解出dydx{{dy} \over {dx}}即可。

八.对数求导法

对于幂指函数或有多个式子相乘或相除而形成的函数，首先对函数表达式两端同取对数，再进行求导，会更为简单，即：

y=f(x),ln⁡y=ln⁡f(x),y′y=[ln⁡f(x)]′y = f\left( x \right),\ln y = \ln f\left( x \right),{{y} \over y} = {\left[ {\ln f\left( x \right)} \right]^\prime }

九.由参数方程确定的函数的导数

函数y=f(x)y = f\left( x \right)由参数方程{x=x(t)y=y(t)\left\{ {\matrix{ {x = x\left( t \right)} \cr {y = y\left( t \right)} \cr } } \right.所确定，则有：

y′=dydx=dydt⋅dtdx=dydt⋅1dxdt=y′(t)x′(t)y = {{dy} \over {dx}} = {{dy} \over {dt}} \cdot {{dt} \over {dx}} = {{dy} \over {dt}} \cdot {1 \over {{{dx} \over {dt}}}} = {{y\left( t \right)} \over {x\left( t \right)}}

y″=dy′dx=dy′dt⋅1dxdt=y″(t)x′(t)−y′(t)x″(t)[x′(t)]3y = {{dy} \over {dx}} = {{dy} \over {dt}} \cdot {1 \over {{{dx} \over {dt}}}} = {{y\left( t \right)x\left( t \right) - y\left( t \right)x\left( t \right)} \over {{{\left[ {x\left( t \right)} \right]}^3}}}

练习（江苏省2000年竞赛题）：如果y=y(x)y = y\left( x \right)由方程组{x+t(1−t)tey+y+1=0\left\{ {\matrix{ {x + t\left( {1 - t} \right)} \cr {t{e^y} + y + 1 = 0} \cr } } \right.确定，求d2ydx2|t=0{\left. {{{{d^2}y} \over {d{x^2}}}} \right|_{t = 0}}.

答案：2e2−2e{2 \over {{e^2}}} - {2 \over e}.

十.高阶导数的计算

方法一：归纳猜想

先求出一阶、二阶、三阶的导数，寻找规律猜想出nn阶导数。

方法二：公式法

结合常见函数的高阶导数公式进行计算。

方法三：莱布尼兹公式（乘积函数）

(uv)(n)=Cn0u(n)v+Cn1u(n−1)v′+⋯Cnnuv(n){\left( {uv} \right)^{\left( n \right)}} = C_n^0{u^{\left( n \right)}}v + C_n^1{u^{\left( {n - 1} \right)}}v + \cdots C_n^nu{v^{\left( n \right)}}

此公式的形式类似于二项式定理，对于有几个式子相乘而成的函数，选择合适的u,vu,v运用莱布尼兹公式，可简便地计算某点处的导数。

练习1（江苏省1991年竞赛题）：设P(x)=dndxn(1−xm)nP\left( x \right) = {{{d^n}} \over {d{x^n}}}{\left( {1 - {x^m}} \right)^n}，其中m,nm,n为正整数，求P(1)P\left( 1 \right).

提示：因式分解、莱布尼兹公式。

答案：(−m)n⋅n!{\left( { - m} \right)^n} \cdot n!.

练习2：设y=11−x2arcsin⁡xy = {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\arcsin x，求y(n)(0){y^{\left( n \right)}}\left( 0 \right).

提示：恒等变形、归纳猜想。

答案：y(2n)(0)=0{y^{\left( {2n} \right)}}\left( 0 \right) = 0，y(2n+1)(0)=4n(n!)2{y^{\left( {2n + 1} \right)}}\left( 0 \right) = {4^n}{\left( {n!} \right)^2}.

十一.变限积分的求导

ddx(∫ϕ(x)φ(x)f(t)dt)=φ′(x)f(φ(x))−ϕ′(x)f(ϕ(x)){d \over {dx}}\left( {\int_{\phi \left( x \right)}^{\varphi \left( x \right)} {f\left( t \right)dt} } \right) = \varphi \left( x \right)f\left( {\varphi \left( x \right)} \right) - \phi \left( x \right)f\left( {\phi \left( x \right)} \right)

需注意：在对变限积分求导时，被积式中只能含有关于积分变量的式子，与积分变量无关的要提到积分号外后再求导。