本
文
摘
要
封面图是郭靖黄蓉~
▍引子
我们先继续来看小说中的情节，上一次我们说到，郭靖黄蓉二人误打误撞来到了瑛姑的小屋，看到她正在计算一道开平方的问题，我们继续来看小说后面的内容：
这次是求三千四百零一万二千二百二十四的立方根，她刚将算子排为商、实、方法、廉法、隅、下法六行，算到一个“三”，黄蓉轻轻道：“三百二十四。”那女子“哼”了一声，哪里肯信？布算良久，约一盏茶时分，方始算出，果然是三百二十四。
接下来瑛姑又计算了一道开立方的问题，那么如何来开一个数的立方根呢？其实上一次我们所讲的增乘开方法，不只能用来开平方根，还能用来开立方以及更高次方的根。今天我们就来介绍一下如何用增乘开方法开更高次的平方。
▍小说中的bug
书中所写故事的时代背景是写到成吉思汗去世为止，成吉思汗死于公元1227年，而关于贾宪的增乘开方法的提出时间，所能找到的最早的记载是杨辉的《详解九章算法纂类》，该书写于1261年。
也就是说，瑛姑所用的开平方的方法，如果按照时间关系上来看，所用的应该是时间更早的《九章算术》中的开平方的方法；但如果根据书中所写的瑛姑把算筹摆成“商、实、法、借”四行的话，就应该用的是贾宪的增乘开方法了。
而瑛姑所用的开立方的方法，将算子摆为六行，又是《九章算术》的方法了，用增乘开方法的话只需要摆成五行就够了。
增乘开方法是贾宪在《九章算术》中开方的方法的基础上，对传统方法进行改进，并推广到了开更高次方的情况，因此，我们还是主要来介绍增乘开方法。
说了这么多，今天的主要内容就正式开始啦。
▍先复个习
我们先来复习一下，之前所讲的增乘开方法的五个步骤：
估算商；
用商乘借加到法上；
实减去商乘法；
再用商乘借加到法上；
法后移一位，借后移两位。
只要不断循环这五个步骤，直到实变为0，所得到的商就是我们的结果啦
开平方与开立方的方法是类似的，我们介绍完开立方的方法之后，再经过类比，推广出开任意次方的方法。
▍举个例子
接下来我们还是以小说中的这道题为例来计算，为了便于理解，我把每一步计算所变化的数框了起来~
先将被开方数放到实的位置上，并将1置于下法：
将下法的1每次向前移动两格，共移动了三次，说明商应当是一个三位数：
接下来正式开始计算啦~
1）估算商的值为3（3的三次方为27，小于34）：
2）用商乘下法置于廉（3×1=3），再用商乘廉置于方（3×3=9）：
3）实减去商乘方（34-3×9=7）：
4）商乘下法加到廉（3×1+3=6），商乘廉加到方（9+3×6=27）：
在用商乘下法加到廉（3×1+6=9）：
5）将方、廉、下法一次向后退1、2、3格：
然后我们就可以开始下一个循环啦
1）估计商的十位为2：
2）商乘下法加到廉，商乘廉加到方：
3）实减去商乘方：
4）商乘下法加到廉，商乘廉加到方，商乘下法加到廉：
5）将方、廉、下法一次向后退1、2、3格：
第二个循环结束，开始第三遍啦~
1）估计商的个位为4：
2）商乘下法加到廉，商乘廉加到方：
3）实减去商乘方：
我们惊喜的发现，实变成了0，也就是说，我们所求的34,012,224的立方根就是324啦~
▍开立方的步骤
我们来总结一下，开立方其实也是五个步骤：
1.估算商；
2.商乘下法加到廉，商乘廉加到方；
3.实减去商乘方；
4.商乘下法加到廉，商乘廉加到方，商乘下法加到廉；
5.将方、廉、下法一次向后退1、2、3格。
和开平方的步骤一样，接下来只要不断地循环以上步骤，直到实为0，此时的商便是所求的根啦~
▍推广到开任意次方的步骤
我们先把开平方和开立方的步骤放到一起来对比一下：
从这个表格中我们能够非常容易的找到规律，从而总结出用增乘开方法开任意正整数次方的方法。
假设我们要求一个数的n次方（n为正整数），那么我们共需要写出n+2行，前两行分别是商和实，其余的n行我们用N1、N2、···、Nn来表示。
将被开方数放入实这一行，在Nn上的最后一格放上一个1，将Nn上的1向左移动，每次移动n-1格，在下一次移动便会超出实的时候停止，此时1移动的次数便是商的位数。
接下来，我们就可以开始进行五个步骤循环的计算啦~
1）估算商。估计出一个商的第一位数的值，设它为a1，a1的n次方应当小于1上面的实的值，而a1+1的n次方是大于它的。
2）依次从下到上填入数字，Nn中已经填入了1，接下来
Nn-1=a1×1
Nn-2=a1×Nn-1
……
N1=a1×N2
3）更新实。新的实=原实-N1×a1
4）更新从N1到Nn。
第1轮：
Nn-1=a1×1+Nn-1
Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2
第2轮：
N2=a1×N3
如此不断循环下去，一直重复到第n-2轮，只剩下一步，Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2为止。
5）将从N1到Nn上的数依次向后移动1、2、3、...n个格。
接下来只要重复上述几个步骤，直至实变为0为止。
如果是无法开出整数的情况的话，实便永远除不尽，便可以不断地重复上述步骤，得到后面无穷无尽的小数啦~
▍参考资料
[1] 金庸. 射雕英雄传[M]. 北京: 生活·读书·新知三联书店, 1994.
[2] 梅荣照. 贾宪的增乘开方法——高次方程数值解的关键一步[J]. 自然科学史研究, 1989, (01): 1-8.
[3] 李兆华. 增乘开方法与贾宪三角形[J]. 中等数学, 1986, (1): 44-45.
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