求多项式所有有理根（有理系数多项式方程的根）

目前很多中学课本要求用技巧找到一个多项式有理数的根。这里提供一个寻找一般多项式的所有有理根的一般计算思路。

假设有一个多项式（系数是整数）：

f(x)=anxn+an−1xn−1+⋅⋅⋅+a0f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_0 ,an≠0a_n\neq 0

存在有理数根: r=pqr = \frac{p}{q} ,且满足p,q是互质整数,q不为0。

0=an(p/q)n+an−1(p/q)n−1+⋅⋅⋅+a00=a_n(p/q)^n+a_{n-1}(p/q)^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_0

变形有：

0=anpn+an−1pn−1q+⋅⋅⋅+a1pqn−1+a0qn0=a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdot\cdot\cdot+a_1pq^{n-1}+a_0q^n

（）0=anpn+（an−1pn−1+⋅⋅⋅+a1pqn−2+a0qn−1）q0=a_np^n+（a_{n-1}p^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_1pq^{n-2}+a_0q^{n-1}）q

0=p(anpn−1+an−1pn−2q+⋅⋅⋅+a1qn−1)+a0qn0=p(a_np^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}q+\cdot\cdot\cdot+a_1q^{n-1})+a_0q^n

因为q,p互质，观察容易知道a0a_0 被p整除， ana_n 被q整除。

总结

要找一个一般多项式的有理根，只需要验证所有满足分子整除末项系数，分母整除首项系数的有理数。通常只需要验证几个简单的情况就可以判断该多项式是否有有理根 并且求出是什么。

比如说用在这里：

a²＋a³＝392 怎么解？6584 赞同 · 537 评论回答

马上能得到a有一个唯一的有理根7 因为392只有2和7 两个质因数。

@聚散人