曲面积分计算体积（曲面积分和重积分的区别）

对于二重积分(double integral)的计算，一般通过二次定积分来实现。

对于黎曼积分(Riemann Integral)在区间上的积分值，在可积函数上可用来求被积函数的面积，因此对于二重积分可以求二元函数中空间上的曲面的体积，这里视作定积分的高维有向曲面的推广。

这里我们从几何意义上进行分析。

一.平面直角坐标系

对于 ∬Df(x,y)dσ\iint_{D} f(x, y) d \sigma

假定一个二元函数f(x,y)≥0f(x,y)\geq0 ，其积分区域D用不等式 a⩽x⩽b,φ1(x)⩽y⩽φ2(x)a \leqslant x \leqslant b, \varphi_{1}(x) \leqslant y \leqslant \varphi_{2}(x) 表示，且φ1(x),φ2(x)\varphi_{1}(x), \varphi_{2}(x) 在 [a,b]\left[ a,b\right] 连续

有

因此依据其二重积分的几何意义，

对于二重积分 ∬Df(x,y)dσ\iint_{D} f(x, y) d \sigma ，等于以 DD 为底，曲面 z=f(x,y)z=f(x,y) 为项的曲顶柱体的体积

有

且在闭区间 [a,b]\left[ a,b \right] 中，取定一点 x0x_0 ,作平行于 yozyoz 面的平面 x=x0x=x_0 所截面积为曲面梯形，根据曲面梯形面积求法

如图易得

A(x)=∫ψ1,(x0)ψ2,(x0)f(x,y)dyA(x)=\int_{\psi_1,(x_0)}^{\psi_2,(x_0)} f(x, y) d y

此时利用嵌套定积分，已知截面面积求立体体积，有

V=∫abA(x)dx=∫ab[∫ψ1(x)ψ2(x)f(x,y)dy]dxV=\int_{a}^{b} A(x) d x=\int_{a}^{b}\left[\int_{\psi_{1}(x)}^{\psi_{2}(x)} f(x, y) d y\right] dx

可看作两次定积分的嵌套形式，此时为先对y，再对x的二次积分，二元函数看作一元函数的函数。

以此推广，对于任意二重积分存在

∬Df(x,y)dσ=∫abdx∫ψ1,(x)ψ2,(x)f(x,y)dy\iint_{D} f(x, y) d \sigma=\int_{a}^{b} d x \int_{\psi_1,(x)}^{\psi_2,(x)} f(x, y) d y

根据其假定状况 f(x,y)≥0f(x,y)\geq0 ，但对于一般情况下的二重积分不受此条件限制，以上式子恒成立。

对于一般

I=∫−11dx∫02(1−x2)dσ(D={(x,y)∣−1≤x⩽1,0≤y≤2}\begin{array}{r} I=\int_{-1}^{1} d x \int_{0}^{2}\left(1-x^{2}\right) d \sigma(D=\{(x, y) \mid-1 \leq x \leqslant 1,0 \leq y \leq 2\} \end{array}

对于其二重积分dx微分形式有（仍以上述条件作为限制）

∬Df(x,y)dσ=∫abdy∫ψ1,(y)ψ2,(y)f(x,y)dx\iint_{D} f(x, y) d \sigma=\int_{a}^{b} d y \int_{\psi_1,(y)}^{\psi_2,(y)} f(x, y) d x

此时同理为先对x，再对y的二次积分。

例题：计算二重积分 ∬Dxcos⁡(x+y)dσ\iint_{D} x \cos (x+y) d \sigma ，被积区域 DD 如图

D区域所示

有

∬Dxcos⁡(x+y)dσ=∫0πdx∫0xxcos⁡(x+y)dy=∫0πxdx∫0xcos⁡(x+y)dy=∫0πxdx[sin⁡(x+y)]|0x\begin{aligned} & \iint_{D} x \cos (x+y) d \sigma \\ =& \int_{0}^{\pi} d x \int_{0}^{x} x \cos (x+y) d y \\ =& \int_{0}^{\pi} xdx \int_{0}^{x} \cos (x+y) d y \\ =& \int_{0}^{\pi} xdx [\sin (x+y)]|_{0} ^{x} \end{aligned}

此为平面直角坐标系，还有极坐标系下的推广

二.极坐标系下的二重积分

比起平面直角坐标系，极坐标系更好的表示其圆形扇形及环形

对于 ∬Df(x,y)dσ \iint_{D} f(x, y) d \sigma

进行极坐标变换

坐标曲线网对被积区域D进行分割， r=ar=a

以O为圆心， rr 为半径的圆用 θ=b\theta=b ，O为起点的射线进行无穷分割

设 Δσ\Delta\ \sigma 为 rr 到 r+drr+dr 及 θ\theta 到θ+dθ\theta+d\theta 小区域的面积，有

Δσ=12(r+Δr)2Δθ−12r2Δθ\Delta \sigma=\frac{1}{2}(r+\Delta r)^{2} \Delta \theta-\frac{1}{2} r^{2} \Delta \theta

因此我们可以得到该二重积分的极坐标系形式

∬Df(x,y)dσ=∬D′f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdrdθ\iint_{D} f(x, y) d \sigma=\iint_{D^{\prime}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta

极坐标系下的二重积分

以上式子由直角坐标系转换为极坐标系，以下介绍详细过程

对于 Δσ=12(2r+Δr)ΔrΔθ=r+(r+Δr)2ΔrΔθ=r¯ΔrΔθ\begin{aligned} \Delta \sigma &=\frac{1}{2}(2 r+\Delta r) \Delta r \Delta \theta \\ &=\frac{r+(r+\Delta r)}{2} \Delta r \Delta \theta \\ &=\bar{r} \Delta r \Delta \theta \end{aligned}

r¯\bar{r} 为两圆弧半径平均值

数学证明小区域求和的极限为零，因此下列步骤可以忽略

在 Δσ\Delta \sigma 上取点(r¯,θ¯)(\bar{r}, \bar{\theta}) ，设该点直角坐标为 (a,b)\left( a,b\right) ，根据极坐标及直角坐标转换公式有

a=r¯cos⁡θ¯b=r¯sin⁡θ¯a=\bar{r} \cos \bar{\theta} \quad b=\bar{r} \sin \bar{\theta}

于是有

limλ→0∑i=1nf(a,b)Δσ=limλ→0∑i=1nf(r¯cos⁡θ,r¯sin⁡θ)⋅r¯ΔrΔθ\begin{array}{l} \lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(a, b) \Delta \sigma\\ =\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(\bar{r} \cos \theta, \bar{r} \sin \theta) \cdot \bar{r} \Delta r \Delta \theta \end{array}α⩽θ⩽β,φ1(θ)⩽r⩽φ2(θ)\alpha \leqslant \theta \leqslant \beta, \varphi_{1}(\theta) \leqslant r \leqslant \varphi_{2}(\theta)

动画演示参照Double Integrals2 – GeoGebra

其中坐标系变换形式如下

下面对此变换形式根据被积区域 DD 的取值，进行分情况讨论

1. α⩽θ⩽β,φ1(θ)⩽r⩽φ2(θ)\alpha \leqslant \theta \leqslant \beta, \varphi_{1}(\theta) \leqslant r \leqslant \varphi_{2}(\theta) ，其中φ1(θ)\varphi_1({\theta}) 和φ2(θ)\varphi_2({\theta}) 在 [α,β]\left[ \alpha,\beta\right] 上连续

此时有

∬Df(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdrdθ=∫αβdθ∫φ1(θ)φ2(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdr\iint_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta=\int_{\alpha}^{\beta} d \theta \int_{\varphi_{1}(\theta)}^{\varphi_{2}(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta)rdr

2.第二种形式为第一种的变式（极点在积分区域的边界）

∬Df(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdrdθ=∫αβdθ∫0φ(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdr\iint_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta=\int_{\alpha}^{\beta} d \theta \int_{0}^{\varphi(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta)rdr

3.第三种形式为第二种的变式(极点包围在积分区域 DD 的内部)

DD 可分割为 D1D_1 和 D2D_2 ，因此

：，D：0≤θ≤2π，0≤r≤φ(θ)D：0\leq\theta\leq2\pi，0\leq r\leq\varphi(\theta) 有

∬Df(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdrdθ=∫02πdθ∫0φ(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdr\iint_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta=\int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{\varphi(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta)rdr

综上讨论，将积分区域表示为 α⩽θ⩽β,φ1(θ)⩽r⩽φ2(θ)\alpha \leqslant \theta \leqslant \beta, \varphi_{1}(\theta) \leqslant r \leqslant \varphi_{2}(\theta) 形式

方便进行极坐标上的运算

例题：计算 ∬Df(x,y)dσ\iint_{D} f(x, y) d \sigma 在极坐标系下的二次积分 0)\right. ">D={(x,y)|x2+y2⩽a2}(a>0)D=\left\{\left(x, y)|x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}(a>0)\right.

D的区域

有

∬Df(x,y)dσ=∬Df(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdr⁡dθ=∫−π2π2dθ∫0af(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdr\begin{aligned} \iint_{D} f(x, y) d \sigma&=\iint_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \operatorname{dr} d \theta \\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{0}^{a}f(r \cos \theta, r \sin \theta) rdr \end{aligned}

三.利用二重积分注意的问题

在平面直角坐标系下，积分限的确定常常使用几何法

几何法

假设积分区域 DD 如图所示，此时在闭区间[a,b]\left[ a,b \right] 内任取一点x，过x轴平行于y轴做一条直线，与区域D存在两个交点，分别为 (x,φ1(x))\left( x,\varphi_1(x) \right) 和(x,φ2(x))\left( x,\varphi_2(x) \right) ，此时将x看作常数后进行积分，但由于取于 [a,b]\left[ a,b \right] 所以此时上下限视作 b,ab,a 。

一般求三维空间内曲面体积的解法：

1.作出该立体的简图,并确定它在 xoyxoy 面上的投影区域

2.列出体积计算的表达式(二重积分法)

3.配置积分限,化二重积分为二次积分并作定积分计算(几何法)

极坐标系下的变换原则

(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示

(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单

此时优先化作极坐标系下的二重积分后进行计算