二重积分求球面积公式（球面的二重积分怎么求）

本人第一次写文章，如有错误欢迎指出~~~

1.准备（可跳过）

首先列出式子（废话）

笛卡尔坐标的二重积分： ∬Df(x,y)rdrdθ\displaystyle\iint_D f(x,y)r\mathrm d r \mathrm d \theta

圆的函数： r2−x2\sqrt{r^2-x^2}

球的函数： R2−x2−y2\sqrt{R^2-x^2-y^2}

那么可以推出二重积分 半球V半球=∫02π∫0RR2−r2rdrdθ\displaystyle V_{半球}=\int^{2\pi}_0 \int^R_0 \sqrt {R^2-r^2}r\mathrm d r \mathrm d \theta

有朋友会好奇为啥这里是半球，因为二重积分只能求xy平面上的体积

2.计算

众所周知，计算二重积分就是层层扒开每一个积分式子

先扒内层

半球V半球=∫02π∫0RR2−r2rdrdθ=∫02π∫0R(R2−r2)12rdrdθ\begin{align} \displaystyle V_{半球}&=\int^{2\pi}_0 \int^R_0 \sqrt {R^2-r^2}r\mathrm d r \mathrm d \theta\\ &=\int^{2\pi}_0 \int^R_0 \left (R^2-r^2\right)^{\frac 1 2}r\mathrm d r\mathrm d \theta \end{align}

不难得出 半球V半球=∫02π13R3dθ\displaystyle V_{半球}=\int ^{2\pi}_0 \frac 1 3R^3 \mathrm d \theta

外层其实很好求，常数13R3\frac 1 3 R^3 提到前边去，再用 2π2\pi 减 00 就Ok了

半球V半球=23πR3V_{半球}=\frac 2 3 \pi R^3

再乘以2，就得出了球的体积公式

球V球=43πR3V_球=\frac 4 3 \pi R^3

话说这篇文章怎么这么冷啊\笑，这文章倒也是太短了