本
文
摘
要
最近做了不少因式分解的题目，有些感悟，写一下。
感觉大致可以分为三类（高次分拆项类的没通法，没作分类），前两类用待定系数法都可以很快的解决。
方法都是通用的，所以就写几个典型的。
第一类（把xx 换成 kk ，yy 换成 mm ，像不像有些圆锥曲线大题韦达联立后的式子？）
1. x2+3xy+2y2+2x+4yx^{2}+3xy+2y^{2}+2x+4y
2. x2−2xy−8y2−x−14y−6x^{2}-2xy-8y^{2}-x-14y-6
3. 4x2−4x−y2+4y−34x^{2}-4x-y^{2}+4y-3
4. 6x2−5xy−6y2+2x+23y−206x^{2}-5xy-6y^{2}+2x+23y-20
5. x4−y4+4x2+4x^{4}-y^{4}+4x^{2}+4
6.如果 x2+7xy+ay2−5x+43y−24x^{2}+7xy+ay^{2}-5x+43y-24 可以分解为 6x2−5xy−6y2+2x+23y−206x^{2}-5xy-6y^{2}+2x+23y-20 两个一次因式的值，求aa 的值。
第二类
7. (x+5)4+(x+3)4−82\left( x +5\right)^{4}+\left( x+3 \right)^{4}-82
8. x3−x−6x^{3}-x-6
9. 如果 x2+x+m=(x−3)(x+n)x^{2}+x+m=(x-3)(x+n) 对 xx 恒成立，求 nn 的值。
10.已知x−1x-1 是多项式 x3−3x+kx^{3}-3x+k 的一个因式，那么 kk 的值为。
11. x4+x3−3x2−4x−4x^{4}+x^{3}-3x^{2}-4x-4
12.如果 a,ba,b 是整数，且x2−x−1x^{2}-x-1 是 ax3+bx2+1ax^{3}+bx^{2}+1 的因式，求 ，a，ba，b 的值。
13.已知： a,b,ca,b,c 为三角形的三条边，且 a2+4ac+3c2−3ab−7bc+2b2=0a^{2}+4ac+3c^{2}-3ab-7bc+2b^{2}=0 ，求证：2b=a+c2b=a+c 。
14.如果 x2+7xy+ay2−5x+43y−24x^{2}+7xy+ay^{2}-5x+43y-24 可以分解为两个一次因式的积，求aa 的值。
第三类（就是换元，不难就不写了，有兴趣的可以自己写写）
15. （（x2+x)2−14(x2+x)+24（x^{2}+x)^{2}-14(x^{2}+x)+24
16. (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\left( x+5 \right)\left( x+7 \right)+15
17. (x2+xy+y2)2−4xy(x2+y2)\left( x^{2}+xy+y^{2} \right)^{2}-4xy\left( x^{2}+y^{2} \right)
18. (x2+x+4)2+8x(x2+x+4)+15x2\left( x^{2}+x+4 \right)^{2}+8x\left( x^{2}+x+4 \right)+15x^{2}
19.(x2+x+1)(x2+x+2)−12\left( x^{2}+x+1 \right)\left( x^{2}+x +2\right)-12
解答
待定系数法的简便操作（应该是原创）
如第一类中的4. 6x2−5xy−6y2+2x+23y−206x^{2}-5xy-6y^{2}+2x+23y-20
用十字相乘法，先对前半部分 6x2−5xy−6y26x^{2}-5xy-6y^{2} 进行因式分解，
不难得 6x2−5xy−6y2=(3x+2y)(2x−3y)6x^{2}-5xy-6y^{2}=\left( 3x+2y \right)\left( 2x-3y \right) ，
然后待定系数，令 6x2−5xy−6y2+2x+23y−20=(3x+2y+m)(2x−3y+n)6x^{2}-5xy-6y^{2}+2x+23y-20=\left( 3x+2y+m \right)\left( 2x-3y +n\right) ，
对比左右两边 ，x，yx，y 的系数，有 (3n+2m)x=2x,(2n−3m)y=23y(3n+2m)x=2x,(2n-3m)y=23y ,不难解得 m=−5,n=4m=-5,n=4 ,
所以原式=(3x+2y−5)(2x−3y+4)=\left( 3x+2y-5\right)\left( 2x-3y +4\right)
上述原理：自己观察下
（（a1x+a2y+a3)(b1x+b2y+b3)=a1b1x2+(a1b2+a2b1)xy+a2b2y2+...........（a_{1}x+a_{2}y+a_{3})(b_{1}x+b_{2}y+b_{3})=a_{1}b_{1}x^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})xy+a_{2}b_{2}y^{2}+...........
(a1x+a2y)(b1x+b2y)=a1b1x2+(a1b2+a2b1)xy+a2b2y2(a_{1}x+a_{2}y)(b_{1}x+b_{2}y)=a_{1}b_{1}x^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})xy+a_{2}b_{2}y^{2}
就不废话了。（本题还可用双十字相乘法，也很好用，直接知乎就能搜到）
再如第二类中的7. (x+5)4+(x+3)4−82\left( x +5\right)^{4}+\left( x+3 \right)^{4}-82
对于仅含一个未知数的式子我们先猜根 （该函数是有一个x=4x=4 的对称轴的），
多代几个值，发现 x=−2x=-2 时原式等于 00 ，
由对称性，我们可知 x=−6x=-6 也是他的一个根，
也即分解出的因式中一定包括 (x+2),(x+6)(x+2),(x+6 ) 这两个因式
然后待定系数 (x+5)4+(x+3)4−82=(x+2)(x+6)(ax2+bx+c)\left( x +5\right)^{4}+\left( x+3 \right)^{4}-82=(x+2)(x+6)(ax^{2}+bx+c) 最高次和常数项很好算
对比得 2x4=ax42x^{4}=ax^{4} ， 34+54−82=12c3^{4}+5^{4}-82=12c ，解得，a=2，c=52a=2，c=52
接下来这一步可以很方便的解出 bb
不妨取 x=−3x=-3 ，左边应该 == 右边，（代 x=x= 别的也都行， −3-3 比较好算）
即 −66=−3(70−3b)-66=-3(70-3b) ,
解得 b=16b=16 ,
所以 (x+5)4+(x+3)4−82=2(x+2)(x+6)(x2+8x+26)\left( x +5\right)^{4}+\left( x+3 \right)^{4}-82=2(x+2)(x+6)(x^{2}+8x+26)
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