本
文
摘
要
笔记
自发辐射、受激辐射和受激吸收
光的发射和吸收是光场与物质作用的结果。光场与物质作用使得组成物质的原子 （或分子）从一个本征态 （能级） 跃迁到另一个本征态，与此伴随着光场某一波型内增加或减少一个光子，这就是单光子的发射和吸收行为，这种行为包括三种基本过程，即自发辐射、受激辐射和受激吸收。
自发辐射
原子中处于高能级的电子自发地向低能级跃迁，并发射出一个能量为 hν=E2−E1h\nu =E_2 -E_1 的光子的现象，叫自发辐射。
自发辐射示意图自发辐射跃迁过程用自发辐射跃迁概率 A21A_{21} 描述。 A21A_{21} 定义为单位时间内发生自发辐射跃迁的粒子数密度占处于 E2E_{2} 能级总粒子数密度的百分比：
A21=(dn21dt)sp1n2=−1n2dn2dtA_{21}=\left(\dfrac{\mathrm{d}n_{21}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{sp}}\dfrac{1}{n_2} =-\dfrac{1}{n_{2}}\dfrac{\mathrm{d}n_{2}}{\mathrm{d}t} \\
式中， dn21\mathrm{d}n_{21} 为dt\mathrm{d}t 时间内自发辐射粒子数密度； n2n_{2} 为 E2 E_{2} 能级总粒子数密度；下标sp表示自发辐射跃迁。若 n20n_{20} 为起始时刻 t=0t = 0 的粒子数密度，则求解这个微分方程可得
n2(t)=n20e−A21tn_{2}(t)=n_{20}\mathrm{e}^{-A_{21}t} \\
处于激发态的原子在没有外界扰动的情况下，总会由于自发辐射而要向低能态跃迁，但会有一个平均停留时间，这个时间称为激发态的平均寿命（定义为原子数密度由n20n_{20} 降到 1/e1/\mathrm{e} 所用的时间），即
τs=1A21\tau_{s}=\dfrac{1}{A_{21}} \\
自发辐射过程只与原子本身性质有关，而与外界辐射的作用无关。各个原子的辐射都是自发地、独立地进行的，因而各光子的初始相位、光子的传播方向和光子的振动方向等都是随机的，是非相干的。除激光器以外，普通光源的发光都属于自发辐射。
受激辐射
当外来光子的频率满足 hν=E2−E1h\nu=E_{2}-E_{1} 时，使原子中处于高能级的电子在外来光子的激发下向低能级跃迁而发光的现象，叫受激辐射。
受激辐射光子与入射光子具有相同的频率、传播方向、相位、偏振。按照经典原子模型，原子看作简谐运动的电偶极子，自发跃迁是原子中电子的自发阻尼震荡，因此每个原子的自发跃迁互相之间没有关联；而受激辐射可以看作在外加光场作用下的受迫振动，其振动频率、相位、方向等与外加光场一致。量子电动力学可以严格证明受激辐射光子与入射光子属于同一种光子态。
受激辐射示意图受激辐射跃迁用受激辐射跃迁概率 W21W_{21} 来描述：
W21=(dn21dt)st1n2=−1n2dn2dtW_{21}=\left( \dfrac{\mathrm{d}n_{21}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{st}}\dfrac{1}{n_{2}} =-\dfrac{1}{n_{2}} \dfrac{\mathrm{d}n_{2}}{\mathrm{d}t} \\
式中， dn21\mathrm{d}n_{21} 是dt\mathrm{d}t 时间内受激辐射粒子数密度；下标st为表示受激辐射跃迁。
受激辐射跃迁与自发辐射跃迁的区别在于，它是在辐射场(光场)的激励下产生的。受激辐射的跃迁概率不仅与原子本身的性质有关，还与外来光场的单色能量密度ρν\rho_{ \nu} 成正比，即
W21=B21ρνW_{21}=B_{21}\rho_{\nu} \\
式中， B21B_{21} 为受激辐射跃迁爱因斯坦系数，它只与原子本身的性质有关，表征原子在外来光辐射作用下产生E2E_2 到 E1E_1 受激辐射跃迁的本领。
受激吸收
处于低能级 E1E_{1} 的原子，在频率为 ν\nu 的光场作用（照射）下，吸收一个能量为 hν21h\nu_{21} 的光子后跃迁到高能级E2E_{2} 的过程称为受激吸收跃迁。
受激吸收示意图受激吸收是受激辐射的反过程。受激吸收跃迁用受激吸收跃迁概率 W12W_{12} 来描述
W12=(dn12dt)st1n1=1n1dn2dtW_{12}=\left( \dfrac{\mathrm{d}n_{12}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{st}}\dfrac{1}{n_{1}} =\dfrac{1}{n_{1}} \dfrac{\mathrm{d}n_{2}}{\mathrm{d}t} \\
式中， dn12\mathrm{d}n_{12} 是 dt\mathrm{d}t 时间内受激辐射粒子数密度；n1 n_{1} 是 E1E_{1} 能级粒子数密度。
受激吸收也是在辐射场作用下产生的，因此跃迁概率 W12W_{12} 也与外来光场的单色能量密度 ρν\rho_{ \nu} 成正比
W12=B12ρνW_{12}=B_{12}\rho_{\nu} \\
式中， B12B_{12} 为受激吸收跃迁爱因斯坦系数，它只与原子本身的性质有关，表征原子在外来光辐射作用下产生 E1E_1 到E2E_2 受激辐射跃迁的本领。
三个爱因斯坦系数 A21A_{21}、B21B_{21}、B12B_{12} 之间的关系
表征自发辐射、受激辐射和受激吸收跃迁本领强弱的三个系数为 A21A_{21}、 B21B_{21} 、B12 B_{12} 。在光场与物质相互作用过程中，上述三个过程同时发生。在系统处于热平衡态时，能级 E2E_2 和 E1E_1 上的粒子数密度 n2n_{2} 和 n1n_1 应该保持不变。换句话说，从E2E_2 跃迁到 E1E_1 的粒子数目应等于从 E1E_1 跃迁到 E2E_2 的数目，所以有
A21n2+B21ρνn2=B12n1ρνA_{21}n_2+B_{21}\rho _{\nu}n_2=B_{12}n_1\rho _{\nu} \\
于是得到
n2n1=B12ρνA21+B21ρν\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{B_{12}\rho _{\nu}}{A_{21}+B_{21}\rho _{\nu}} \\
另一方面，当物体处于热平衡状态时，每个能级上都具有确定的粒子数，能级 EiE_i 上所具有的粒子数 nin_{i} (也被称为集居数)的分布规律服从玻耳兹曼定律，即
ni∝fie−EikbTn_{i}\propto f_{i}e^{-\frac{E_{i}}{k_{b}T}} \\
fif_i 为 EiE_i 能级的统计权重(为常数)； kbk_{b} 为玻耳兹曼常数，kb=1.38×10−23J/Kk_{b}=1.38 \times 10^{-23}\mathrm{J}/\mathrm{K} 。 温度越高，粒子数也越多；能级越高，粒子数越少。
于是得到两个能级的粒子数之比为
n2n1=f2f1e−(E2−E1)kbT\dfrac{n_{2}}{n_{1}}=\dfrac{f_2}{f_1}e^{-\frac{\left( E_2-E_1 \right)}{k_bT}} \\
比较两条 n2/n1n_2/n_1 的式子，可以得到
ρν=A21B21⋅1B12f1B21f2ehνkT−1\rho _{\nu}=\dfrac{A_{21}}{B_{21}}\cdot \dfrac{1}{\cfrac{B_{12}f_1}{B_{21}f_2}e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} \\
此外，根据黑体辐射的普朗克公式，热平衡状态下黑体单色辐射能量密度
ρν=8πhν3c3⋅1ehνkT−1\rho _{\nu}=\frac{8\pi h\nu ^3}{c^3}\cdot \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} \\
比较上面两式，可以得到三个爱因斯坦系数之间的关系
A21B21=8πhν3c3\dfrac{A_{21}}{B_{21}} = \dfrac{8\pi h\nu ^3}{c^3} \\
f1B12=f2B21f_1B_{12} = f_2B_{21} \\
例题 氖原子的某一激发态和基态能级的能量差 ΔE\Delta E 为 16.9 eV，若该原子体系处于室温（T=300 K），它处于激发态的原子数与处于基态的原子数之比是多少？（f1=f2f_{1}=f_{2} ）
解：根据玻耳兹曼分布定律有
n2n1=f2f1e−(E2−E1)kbT=e−16.9×1.6×10−191.38×10−23×300=e−653≪1\dfrac{n_{2}}{n_{1}}=\frac{f_{2}}{f_{1}}\mathrm{e}^{-\frac{(E_{2}-E_{1})}{k_{b}T}} =\mathrm{e}^{-\frac{16.9\times 1.6\times 10^{-19}}{1.38\times 10^{-23}\times 300}}=\mathrm{e}^{-653}\ll 1 \\
所以在正常情况下，处于基态的原子数量是最多的；能级越高，处于该能级的原子数就越少。
例题 室温下（T=300 K），某物质中 E1 E_{1} 和 E2 E_{2} 两能级的能量差为0.5 eV。计算 E2E_{2} 能级粒子数与 E1E_{1} 能级粒子数之比。当原子从E2E_{2} 能级跃迁到 E1E_{1} 能级时，辐射出的光子波长为多少？（ f1=f2 f_{1}=f_{2} ）
解：根据玻耳兹曼分布定律有
n2n1=f2f1e−(E2−E1)kbT=e−0.5×1.6×10−191.38×10−23×300=4×10−9\dfrac{n_{2}}{n_{1}}=\frac{f_2}{f_1}\mathrm{e}^{-\frac{\left( E_2-E_1 \right)}{k_bT}}= \mathrm{e}^{-\frac{0.5\times 1.6\times 10^{-19}}{1.38\times 10^{-23}\times 300}}=4\times 10^{-9} \\
这说明处于激发态 E2E_{2} 能级的粒子数只有基态的粒子数的 4×10−94\times 10^{-9} ，基态粒子数要比激发态多得多。计算波长：
λ=hcΔE=6.626×10−34J⋅s×3×108m/s0.5eV×(1.6×10−19J/eV)=2.48μm\lambda =\frac{hc}{\Delta E}=\frac{6.626\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}\times 3\times 10^8\text{m}/\text{s}}{0.5\mathrm{eV}\times \left( 1.6\times 10^{-19}\text{J}/\text{eV} \right)}=2.48 \mathrm{\mu m} \\
这个波长处于近红外波段。
激光产生的条件
受激辐射光放大
受激辐射过程能够实现相同状态(频率、相位、振动方向及传播方向均相同)的光子数目的几何级数递增，引起光放大。一个外来光子引发大量发光粒子产生受激辐射，并产生大量运动状态完全相同的光子，这种现象称为受激辐射光放大。
受激辐射光放大但是，光与原子体系相互作用时，总同时存在自发辐射、受激辐射和受激吸收三种过程。光是否放大要看哪种跃迁过程占优势。为了获得激光，要使得受激辐射占优势，也就是要解决两个基本矛盾：受激辐射和受激吸收的矛盾，受激辐射和自发辐射的矛盾。
集居数反转
形成集居数反转分布是克服受激辐射和受激吸收的矛盾的必要条件。通常情况下，原子体系总是处于热平衡状态，各能级粒子数服从玻耳曼兹统计分布，如果令$ f_1 =f_2 $，那么有
n2n1=e−(E2−E1)kbT\dfrac{n_{2}}{n_{1}}=\mathrm{e}^{-\frac{\left( E_2-E_1 \right)}{k_bT}} \\
而能级 E_1">E2>E1E_2 > E_1 ，所以
一般而言，处于热平衡态下的物质是不能实现粒子数反转的。由上式可知，如果这里负温度状态 激活粒子的能级系统
形成稳定的激光，必须有能够形成粒子数反转的发光粒子，称之为激活粒子，它可以是分子、原子或离子；这些激活粒子有些可以独立存在，有些则必须依附于某些材料中，为激活粒子提供寄存场所的材料，叫做基质。基质与激活粒子统称为激光工作物质。
并非各种物质都能实现粒子数反转，在能实现粒子数反转的物质中，也并非是在该物质的任意两个能级间都能实现粒子数反转。如果泵浦的粒子在激发态寿命很短，不能够在一定时间大量聚集，也是不能实现粒子数反转的。因此我们需要工作物质存在亚稳态结构，即有合适的能级系统。
能级系统首先必须要有激光上能级和激光下能级；除此之外，往往还需要有一些与产生激光有关的其他能级。通常的激光工作物质都是由包含有亚稳态的三能级结构或四能级结构的原子体系组成。
二能级系统
二能级系统二能级系统不能实现粒子数反转。因为热平衡时，对上能级的粒子数密度 n2 n_2 的变化率，有
dn2dt=W12n1−W21n2−A21n2\dfrac{\mathrm{d}n_2}{\mathrm{d}t}=W_{12}n_1-W_{21}n_2-A_{21}n_2 \\
而由于 B12=B21B_{12}=B_{21} ，则 W12=W21W_{12}=W_{21} 。到达稳态时，粒子数密度n2 n_{2} 不再变化，于是得到
n2n1=WA21+B21W\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{W}{A_{21}+B_{21}W} \\
无论多强的光激励， n2n_2 始终小于 n1n_1 。这说明，二能级系统不能实现粒子数反转。
三能级系统
三能级系统理论分析和实验结果都表明，三能级系统有可能实现粒子数反转。参与激光的三个能级为：激光下能级E1E_1 ，为基态；激光上能级 E2 E_2 ，为亚稳态；抽运高能级 E3E_3 ，实际上的 E3E_3 不只是一个能级，而是代表一些较高的激发能带。
E3E_3 能级的寿命很短，通常约为 10−8s10^{-8} \mathrm{s} ，激活粒子很快以非辐射跃迁的形式迅速转移到E2E_2 上。 E2 E_2 能级的寿命要长得多，约为 10−3s10^{-3} \mathrm{s} ，在未形成粒子数反转之前，激活粒子以自发辐射方式回到E1E_1 。如果 E1 E_1 的粒子被抽运到 E3E_3 ，且从 E3E_3 转移到 E2E_2 的速率够高，就可以在 E2E_2 和 E1E_1 之间形成粒子数反转分布。但是， E1E_1 能级上始终聚集着大量粒子，要实现粒子数反转，外界泵浦的能量相当强才行。
红宝石激光器是典型的三能级系统激光器，其原理后续再说。
四能级系统
四能级系统对于多数激光工作物质来说，四能级系统更具有代表性。参与产生激光的四个能级为：抽运过程的低能级E1E_1 （基态），抽运过程的高能级 E4E_4 ，激光上能级 E3 E_3 （亚稳态）和激光下能级 E2E_2 。这里，激光下能级 E2 E_2 不再是基态，因而在热平衡状态时处于E2 E_2 的粒子数很少，有利于在 E3 E_3 和 E2 E_2 之间形成数子数反转。
在四能级系统中，较之三能级系统更易实现激光振荡。然而，四能级系统和三能级系统之间的差别并不是绝对的，如果能级E2E_2 和 E1E_1 靠得很近，四能级系统也就和三能级系统没有什么差别了。要使四能级系统的优越性更好地发挥出来，就必须选择 E2E_2 和 E1E_1 能级的能量差适当大的工作物质。大量的实验表明，已有的性能较好的激光器绝大多数都是属于四能级系统。
掺钕的钇铝石榴石晶体激光器和多数气体激光器的工作物质的能级属于四能级系统。
光的自激振荡
受激辐射除了与受激吸收过程相矛盾外，还与自发辐射过程相矛盾。即使工作介质已实现粒子数反转，也未必就能实现以受激辐射为主的辐射。为使受激辐射占绝对优势，还需要利用光学谐振腔来实现光的自激振荡，即激光振荡。
所谓自激振荡，就是在输入微弱光强 I0I_{0} 时，通过增益使光强达到饱和，总能输出确定大小的光强ImI_{m} 。而要实现自激振荡，需要光在谐振腔内来回一次所得到的增益大于同一过程中的损耗，且工作物质足够长。
阈值条件
入射光通过介质后输出，如果被吸收了就是损耗，被放大了就是增益。
单位长度介质对入射光的相对损耗率叫做损耗系数。损耗一般由吸收引起，所以损耗系数也叫吸收系数，定义为
α=−dI(z)dz⋅1I(z)\alpha =-\dfrac{\mathrm{d}I( z )}{\mathrm{d}z}\cdot \dfrac{1}{I( z )} \\
入射光通过单位长度介质的相对增加率定义为增益系数
G(z)=dI(z)dz⋅1I(z)G( z ) =\dfrac{\mathrm{d}I( z )}{\mathrm{d}z}\cdot \dfrac{1}{I( z )} \\
当 II 很小时， GG 近似常数，可以记为 G0G^{0} ，称为小信号增益系数。将G0G^{0} 代入上式，同时考虑增益和损耗两式，设初始光强为 I0 I_0 ，可以解得
I(z)=I0e(G0−α)zI\left( z \right) =I_0e^{\left( G^0-\alpha \right) z} \\
要形成光放大，则 I(z)⩾I0I(z) \geqslant I_0 ，也就是 G0⩾αG^0 \geqslant \alpha 。
增益系数是正比于反转粒子数密度的。光放大是以消耗反转粒子数为代价的，随着光放大，反转粒子数密度下降，增益系数也下降，增益会逐渐达到饱和，这就是所谓增益饱和现象。
光学谐振腔
要输出稳定光强，那么就需要工作介质足够长。实际上，激光器不需要很长的工作介质，而是利用光学谐振腔来解决这个问题。光学谐振腔由工作物质和两块相互平行，与工作介质轴线垂直的反射镜，这是为了增加工作介质的有效长度，使受激辐射过程成为主导；谐振腔还对光束有方向选择性：平行于轴线的放大增强，偏离轴向的逸出腔外，获得高度方向性的激光；此外，谐振腔还能选择激光频率（形成驻波）。
光学谐振腔激光器
一个激光器最基本的组成是泵浦源、谐振腔和激光工作介质。这里先简单介绍，各个部件的详细介绍将放在后面的章节中。
激光器基本组成泵浦源：对激光工作物质进行激励，将激活粒子从基态抽运到高能级，以实现粒子数反转。可以是光激励、气体放电激励、化学激励、核能激励等。激励源的选择取决于工作物质的特点。因而不同工作物质往往需要不同的泵浦源。如对固体激光器一般采用脉冲氙灯、碘钨灯等光激励的办法，对气体激光器则用电激励方法，通过放电直接激励工作物质。此外激励源的选择也应考虑到激励效率等问题。
谐振腔：增加工作介质的有效长度，对光束方向性加以选择，选择激光频率等。光学谐振腔是决定激光器单色性、方向性、相干性等输出特性的最关键因素。更加具体的内容将在后面讨论。
工作介质：实现粒子数反转并产生光的受激辐射放大作用的物质体系。激光介质可以是气体、液体、固体和半导体，要求存在亚稳态能级。为了选择激光工作物质，必须对物质作能谱分析。在此基础上根据不同的需要进行选择。这是一个比较复杂的问题，需要考虑的问题很多，最重要的问题是一种物质是否有合适的跃迁能级，即在某两能级之间可以实现粒子数反转分布。
下面简单介绍几种激光器。
红宝石激光器：红宝石激光器是最先实现激光作用的激光器，它发出694.3nm的红色激光。其工作介质是红宝石棒，由掺铬的三氧化二铝磨制成；采用光激励的方法，通过Cr3+\mathrm{Cr}^{3+} 受激辐射实现。
钇铝石榴石激光器：钇铝石榴石激光器是目前中小功率固体激光器中性能最好的一种激光器，能够发出几种波长的光。其工作物质是掺钕的石榴石棒，成分是Y3Al5O12 \mathrm{Y}_{3}\mathrm{Al}_{5}\mathrm{O}_{12} ，简称YAG。它是四能级系统，通过Nd3+\mathrm{Nd}^{3+} 受激辐射实现。
氦氖激光器：氦氖激光器是最早制成的一种气体激光器，可以发出632.8nm、1150nm和3390nm波长的激光。它单色性好，结构简单，输出功率稳定，被广泛应用。激光谱线都是发生于氖原子的不同激发态之间，而氦原子只是起辅助作用。氖的能级结构复杂，但是也可以把它看作是四能级系统。
