解分式方程产生增根的原因（解分式方程时产生增根的原因）

之前讲了解无理方程、讲了方程组的求解，今天分享两道分式方程求解，抛砖引玉：

问题一

解方程：

x+9x+7+x+4x+2=x+5x+3+x+8x+6\frac{x+9}{x+7}+\frac{x+4}{x+2}=\frac{x+5}{x+3}+\frac{x+8}{x+6}

【详解】

x+9x+7+x+4x+2=x+5x+3+x+8x+6\frac{x+9}{x+7}+\frac{x+4}{x+2}=\frac{x+5}{x+3}+\frac{x+8}{x+6}

1+2x+7+1+2x+2=1+2x+3+1+2x+61+\frac{2}{x+7}+1+\frac{2}{x+2}=1+\frac{2}{x+3}+1+\frac{2}{x+6}

1x+7+1x+2=1x+3+1x+6\frac{1}{x+7}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+6}

1x+2−1x+3=1x+6−1x+7\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}=\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}

1(x+2)(x+3)=1(x+6)(x+7)\frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{1}{(x+6)(x+7)}

(x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)(x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)

x2+13x+42=x2+5x+6x^2+13x+42=x^2+5x+6

8x=−368x=-36

x=−92x=-\frac{9}{2}

验证可知， x=−92\boxed{x=-\frac{9}{2}} 是原方程的根。 ◻\square

问题二

解方程：

1x2+11x−8+1x2+2x−8+1x2−13x−8=0\frac{1}{x^{2}+11 x-8}+\frac{1}{x^{2}+2 x-8}+\frac{1}{x^{2}-13 x-8}=0

【详解】

通分两边同乘以(x2+11x−8)(x2+2x−8)(x2−13x−8)(x^2+11x-8)(x^2+2x-8)(x^2-13x-8) 可得：

(x2+2x−8)(x2−13x−8)+(x2+11x−8)(x2−13x−8)+(x2+11x−8)(x2+2x−8)=0(x^2+2x-8)(x^2-13x-8)+(x^2+11x-8)(x^2-13x-8)+(x^2+11x-8)(x^2+2x-8)=0

x4−11x3−42x2+88x+64+x4−2x3−159x2+16x+64+x4+13x3+6x2−94x+64=0x^4-11x^3-42x^2+88x+64+x^4-2x^3-159x^2+16x+64+x^4+13x^3+6x^2-94x+64=0

3x4−195x2+192=03x^4-195x^2+192=0

x4−65x2+64=0x^4-65x^2+64=0

(x2−1)(x2−64)=0(x^2-1)(x^2-64)=0

(x+1)(x−1)(x+8)(x−8)=0(x+1)(x-1)(x+8)(x-8)=0

所以， x=±1,±8x=\pm1,\pm8

把根带入原方程检验，发现 x=±1,±8\boxed{x=\pm1,\pm8} 是原方程的根。◻\square

分式方程与无理方程求解的通法一样，就是转化为整式方程进行求解。虽然看着复杂一点，但是只要方向是对的，最后肯定是能够做出来的。另一种方法就是整体代换，大家感兴趣可以思考下面这道题：

思考题：

2x4−7x3+2x2+7x+2=02x^4-7x^3+2x^2+7x+2=0

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想了解更多高中自主招生或初中数学竞赛的知识，可参阅：

双木止月Tong：高中自主招生116 赞同 · 13 评论文章