写出下列极限的定义什么意思（写出下列极限的数学定义及其特点是）

补充

@卢健龙 的回答。

先回答题主的问题。「极限」概念很早以前就出现了［Zeno 悖论］，但其严格定义是许久以后在微积分的严格化工作中完成的，为了解决无穷级数等各种问题。极限理论能很好地解决这些问题，是因为严格定义了的概念用起来方便。极限理论能被许多人接受，一是因为有严格定义，二是因为Rk\mathbb R^k 性质比较好所以容易形象地展示。

接着对

@卢健龙 引用 @Patrick Zhang 回答的第 6 点做进一步计算。卢健龙回答中的 Patrick Zhang 回答中的电路图

因为题中出现了 RR 和 rr，从而计算过程中不得已地使用希腊字母形式，记合电阻为 ρn\rho_n（注意单位为欧姆）。显见

(1)ρn+1=r+RρnR+ρn=(R+r)ρn+Rrρn+R.\rho_{n+1}=r+\frac{R\rho_n}{R+\rho_n}=\frac{(R+r)\rho_n+Rr}{\rho_n+R}.\tag1

这符合高中「数列」章节中出现的 an+1=Aan+BCan+Da_{n+1}=\frac{Aa_n+B}{Ca_n+D} 形式。其中一种计算思路是将 (1) 两端加 t，从而

(2)ρn+1+t=[t+(R+r)]⋅ρn+Rt+Rrt+R+rρn+R.\rho_{n+1}+t=[t+(R+r)]\cdot\frac{\rho_n+\dfrac{Rt+Rr}{t+R+r}}{\rho_n+R}.\tag2

令 t=Rt+Rrt+R+rt=\frac{Rt+Rr}{t+R+r} 解得 t1,2=−r±r2+4Rr2t_{1,2}=\frac{-r\pm\sqrt{r^2+4Rr}}{2}。由 0">r,R>0r,R>0 得 0">r2+4Rr>0\sqrt{r^2+4Rr}>0，确认是两不等根。此时两根同时是 ρn+1+t=[t+(R+r)]⋅ρn+tρn+R\rho_{n+1}+t=[t+(R+r)]\cdot\frac{\rho_n+t}{\rho_n+R} 的根，进而有

(3)ρn+1+t1ρn+1+t2=t1+R+rt2+R+r⋅ρn+t1ρn+t2.\frac{\rho_{n+1}+t_1}{\rho_{n+1}+t_2}=\frac{t_1+R+r}{t_2+R+r}\cdot\frac{\rho_n+t_1}{\rho_n+t_2}.\tag3

(3) 说明 {ρn+t1ρn+t2}\left\{\frac{\rho_n+t_1}{\rho_n+t_2}\right\} 是首项为ρ1+t1ρ1+t2=2R+r+r2+4Rr2R+r−r2+4Rr\frac{\rho_1+t_1}{\rho_1+t_2}=\frac{2R+r+\sqrt{r^2+4Rr}}{2R+r-\sqrt{r^2+4Rr}}，公比为R+r+t1R+r+t2=2R+r+r2+4Rr2R+r−r2+4Rr\frac{R+r+t_1}{R+r+t_2}=\frac{2R+r+\sqrt{r^2+4Rr}}{2R+r-\sqrt{r^2+4Rr}} 的等比数列，从而

(4)ρn+t1ρn+t2=(2R+r+r2+4Rr2R+r−r2+4Rr)n.\frac{\rho_n+t_1}{\rho_n+t_2}=\left(\frac{2R+r+\sqrt{r^2+4Rr}}{2R+r-\sqrt{r^2+4Rr}}\right)^n.\tag4

解得

ρn=(−r−r2+4Rr)(2R+r+r2+4Rr)n2(2R+r−r2+4Rr)n−2(2R+r+r2+4Rr)n(5)−(−r+r2+4Rr)(2R+r−r2+4Rr)n2(2R+r−r2+4Rr)n−2(2R+r+r2+4Rr)n.\begin{align} \rho_n&=\frac{\left(-r-\sqrt{r^2+4Rr}\right)\left(2R+r+\sqrt{r^2+4Rr}\right)^n}{2\left(2R+r-\sqrt{r^2+4Rr}\right)^n-2\left(2R+r+\sqrt{r^2+4Rr}\right)^n}\\ &\ \ \ \ \ -\frac{\left(-r+\sqrt{r^2+4Rr}\right)\left(2R+r-\sqrt{r^2+4Rr}\right)^n}{2\left(2R+r-\sqrt{r^2+4Rr}\right)^n-2\left(2R+r+\sqrt{r^2+4Rr}\right)^n}. \tag5 \end{align}

注意到

(6)ρn=12[r2+4Rr(2(2R+r+r2+4Rr2R+r−r2+4Rr)n−1+1)+r]\rho_n=\frac12\left[\sqrt{r^2+4Rr}\left(\frac2{\left(\dfrac{2R+r+\sqrt{r^2+4Rr}}{2R+r-\sqrt{r^2+4Rr}}\right)^n-1}+1\right)+r\right]\tag6

在 0">r2+4Rr>0\sqrt{r^2+4Rr}>0 时显见 1">2R+r+r2+4Rr2R+r−r2+4Rr>1\frac{2R+r+\sqrt{r^2+4Rr}}{2R+r-\sqrt{r^2+4Rr}}>1，从而

(*)limn→∞ρn=r+r2+4Rr2.\lim_{n\to\infty}\rho_n=\frac{r+\sqrt{r^2+4Rr}}2.\tag{*}

显然 r+r2+4Rr2=r\frac{r+\sqrt{r^2+4Rr}}2=r 当且仅当Rr=0Rr=0，所以 r+r2+4Rr2≠r\frac{r+\sqrt{r^2+4Rr}}{2}\neq r。