本
文
摘
要
阶乘只对正整数定义。问0的阶乘等于几的时候，顺便把1.1的阶乘，-π的阶乘，2+3i的阶乘都算出来吧。
首先来算积分：以下积分的区间都是0到+∞
∫x*e^(-x)dx=1=1!
∫x^2*e^(-x)dx=2=2!
∫x^3*e^(-x)dx=6=3!
∫x^4*e^(-x)dx=24=4!
……
可以归纳证明：对于正整数n，
∫x^n*e^(-x)dx=n!
这样就很好了，我们干脆重新定义
n!=∫x^n*e^(-x)dx
或者对于任何复数z，定义
z!=∫x^z*e^(-x)dx
这样，不但与原有的定义相容，且可以算
0!=∫e^(-x)dx=1
0的阶乘就有了~
(1.1)!=∫x^(1.1)*e^(-x)dx
任何正实数的阶乘就有了~
甚至对于一个复数z，只要它的实部大于-1，这个积分∫x^z*e^(-x)dx就收敛，所以阶乘的定义可以扩展到{z∈C:Re(z+1)>0}
如果不收敛也没关系，我们有解析延拓呀~
实际上上面的定义是Gamma函数的定义。
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