本
文
摘
要
解二元方程有很多的方法，消元法是很重要的一种方法，我们来学习一下解它的由来。
让我们从一道例题开始：
⑴妈妈买1公斤的苹果和一公斤的梨子，共付了13元，已经知道梨子是一公斤5元，求苹果一公斤多少钱？
这个问题，二年级的小朋友都很容易解出来，13-5=8（元）。
这道例题实质是一元一次方程。
⑵妈妈买4公斤的苹果和3公斤的梨子，共付了47元，已经知道梨子是一公斤5元，求苹果一公斤多少钱？
这个问题，略微绕了一点点弯儿，总共的费用等于买苹果和买梨子的钱，买梨子共付了3×5=15（元），那么买苹果就用去了47-15=32（元），已知苹果买了4公斤，那么每公斤苹果的价格便是32÷4=8（元）。
这道例题实质是一元一次方程。
⑶妈妈去买水果，第一次买1公斤的苹果和1公斤的梨子，共付了13元，第二次买4公斤的苹果和1公斤的梨子，共付了37元，求苹果一公斤多少钱？
这个题目有点儿难度了，我们慢慢来解析。
第一次买水果，1公斤苹果，1公斤梨子，共13元。
第二次买水果，4公斤苹果，1公斤梨子，共37元。
虽然我们不知道苹果和梨子多少钱一公斤，但是通过对比题目的描述发现，第二次买水果和第一次买水果的差异在于，第二次比第一次仅仅多买了3公斤的苹果，而因此多付了37-13=24元，所以一公斤苹果价格为24÷3=8（元）。
这道例题实质仍然是二元一次方程了。
⑷妈妈去买水果，第一次买1公斤的苹果和1公斤的梨子，共付了13元，第二次买4公斤的苹果和3公斤的梨子，共付了47元，求苹果一公斤多少钱？
难度又增加了，不用着急，我们来理一理思路。
第一次买水果，1公斤苹果，1公斤梨子，共13元。
第二次买水果，4公斤苹果，3公斤梨子，共47元。
其实质仍然是二元一次方程。
和⑶不同的是，⑷两次买梨子的数量是不相同的。那我们能不能依照⑶的解题思路来顺藤摸瓜地解决这个问题呢？
第一次买水果，1公斤苹果，1公斤梨子，共13元。我们知道价格是没有变化的，意思是说，假设按照这个买法，我们来买第3次，就是买3公斤的苹果，3公斤的梨子，共13×3=39元。
发现什么了吗？
第三次买水果，3公斤苹果，3公斤梨子，共39元。（根据第一次买法假设的）
我们发现，第二次买水果和第三次买水果的差异在于，第二次比第三次仅仅多买了1公斤的苹果，而因此多付了47-39=8元，所以一公斤苹果价格8（元）。
通过上面的解法，我们发现，虽然我们不知道两种水果的价格，但可以通过合理假设（价格不变，只是购买的数量同比例大一些）来构造一个类同⑶的条件，这样就可以在差异对比中找到问题的解决办法。
⑸妈妈去买水果，第一次买3公斤的苹果和2公斤的梨子，共付了34元，第二次买4公斤的苹果和3公斤的梨子，共付了47元，求苹果一公斤多少钱？
这道试题的难度接近小学的奥数题了，但是只要理解了⑷的解法，就有了解决这道试题的良好基础。其本质涉及的是二元一次方程。
我们仍然延续⑷的解题思路。
第一次买水果，3公斤苹果，2公斤梨子，共34元。
第二次买水果，4公斤苹果，3公斤梨子，共47元。
这两次买梨子的数量不一样啊？！咋办？
仍然假设进行第三次买水果，还是按照第一次的买，与第二次买水果相比，梨子的数量保持一致。
第二次买了3公斤梨子，第一次买2公斤，那么这次也买3公斤，3÷2=1.5，相应地，苹果买3×1.5=4.5（公斤），总共花34×1.5=51（元）。
即第三次买水果，4.5公斤苹果，3公斤梨子，共51元。（根据第一次买法假设的）
我们发现，第二次买水果和第三次买水果的差异在于，第三次比第二次仅仅多买了4.5-4=0.5公斤的苹果，而因此多付了51-47=4元，所以一公斤苹果价格为4÷0.5=8（元）。
到这里，你可能会有疑问，3÷2=1.5，这是除得尽，除不尽怎么办呢？还用分数？有没有其他利索一点儿的解法呢？有的。
下面我们稍微转一下弯儿。
第一次买水果，3公斤苹果，2公斤梨子，共34元。
第二次买水果，4公斤苹果，3公斤梨子，共47元。
根据第一次买水果，我们来进行第三次购买。即按第一次买的方法购买三次。
第三次买水果，9公斤苹果，6公斤梨子，共102元。
根据第二次买水果，我们来进行第四次购买。即按第二次买的方法购买二次。
第四次买水果，8公斤苹果，6公斤梨子，共94元。
我们发现，第四次买水果和第三次买水果的差异在于，第三次比第四次仅仅多买了1公斤的苹果，而因此多付了102-94=8元，所以一公斤苹果价格8（元）。
这个解法关键在于让第三次和第四次购买的梨子一样多，都买2×3=6公斤，在两次购买中，把买梨子的数量保持一样再进行下一步的分析就好办了。
你可能会想，为什么要这样做呢？
根本点在于：解题中要面对两个未知的变化量，我们就是要在两次的购买中消除其中一个变化量来得到一件简单的数学关系式，即一元一次方程。
进一步，其实两次的购买，我们要在一次的购买数量中完整地包含另外一次的购买数量，从而得到只有一个未知量的关系式。
不信？！看数学写法。
假设苹果的价格为X，梨子的价格为Y。
根据题意有如下关系式成立：
3X+2Y=34 ①
4X+3Y=47 ②
我们把①进行变换：
（3X+2Y）×3=34×3
9X+6Y=102 ③
我们把④进行变换：
（4X+3Y）×2=47×2
8X+6Y=94 ④
记得我们在等式的性质里提到过的，
★ 注意，如果a=b，c=d，那么a-c=b-d。
根据③和④就有
（9X+6Y）-（8X+6Y）=102-94
X=8
好了，现在我们可以引出解二元方程的一个重要方法：消元法。
什么是消元法呢？（小学阶段的定义）
指将二个关系式中的两个未知元素通过适当地变换，消去其中的一个未知元素，从而使问题获得解决的一种解题方法。
我们上面的解法，即找到其中一个未知数在两个不同关系式中前面系数的最小公倍数，再依据等式的性质进行相减变换，从而得到只有一个未知数的一元一次方程，这个过程具体的叫法是交叉消元法或者叫加减消元法。
总结具体的步骤：
1.利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；
2.再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程
（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；
3.解这个一元一次方程，求出未知数的值；
4.将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；
5.联立两个未知数的值，就是方程组的解；
前面我们说过，可以在一次的购买数量中完整地包含另外一次的购买数量，从而得到只有一个未知量的关系式。
我们来变换一下第二次购买，假设苹果的价格为X，梨子的价格为Y。那么
4X + 3Y = 47
变换 （3X+2Y）×1.5 - 0.5X = 47
34×1.5 - 0.5X = 47
51 - 0.5X = 47
X = 8
上面也叫构造消元法，不常用，了解即可。
解二元一次方程中常用到的方法是代入消元法，我们先说具体的步骤：
1.从二元一次方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来；
2.把第1步中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数；
3.解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值；
4.把所求得的一个未知数的值代入第1步中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解。
我们依照这个方法来解上面的试题。
1.要求苹果的价格，根据①得到Y=(34-3X)
2.把这个关系式代入到②中，4X+3×（34-3X）=47
3.解上面的一元一次方程得到，X=8
4.把X值代入到Y=(34-3X)=5
上面我们通过一道试题讲解了解二元一次方程的方法，分别是交叉消元法和代入消元法。
这道试题是有原型的，下面这道试题就是北京市小学生第十一届“迎春杯”数学竞赛的决赛试题。
为举办春节拥军优属联欢会，第一居委会买了9千克橘子和10千克苹果，一共用了73.8元；第二居委会买了17千克鸭梨和6千克香蕉，一共用了69.8元，如果橘子和鸭梨的单价相同，苹果和香蕉的单价也相同。那么橘子和香蕉每千克多少元？
试着做一下吧！
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