本
文
摘
要
江苏高等数学专转本的考纲中“会求函数图形的水平渐近线与铅直渐近线”。今天老刘专门来给大家归纳下关于渐近线方面的内容。所谓渐近线，简单说就是和函数曲线y=f(x)距离无限趋于零的直线。渐近线分为三种：水平渐近线、铅直（垂直）渐近线和斜渐近线
各位在高中里学过的双曲线就有两条斜渐近线，我们只要将双曲线的标准方程等号右边的1改为0即得其斜渐近线。斜渐近线考纲不做要求，这里老刘就不进一步展开讨论了。
顾名思义，水平渐近线即平行于x轴的直线；铅直（垂直）渐近线就是垂直于x轴的直线。高中里所学的基本初等函数有天生的渐近线。
幂函数中的一些函数曲线，显然存在着上述两种渐近线，如下图：
从图像上，显而易见，直线y=0即x轴是它们的水平渐近线；直线x=0即y轴是它们的铅直渐近线；
如下图指数函数有水平渐近线y=0，其没有铅直渐近线；
如下图对数函数有铅直渐近线，其无水平渐近线；
如下图正切函数有无数条铅直渐近线x=kpi+pi/2，其无水平渐近线；
上述是高中学过的基本初等函数的渐近线，那么由基本初等函数组合形成的初等函数的渐近线是怎么样的呢？
在转本的考核中出现的是求函数表达式为分子分母皆为多项式的分式的渐近线。这些题在填空、选择中，甚至有些年份还在最后压轴的综合题中体现。
老刘先给出求水平渐近线的方法
这里的f(x)是分子分母皆为多项式的分式，对于求这样的极限，老刘在前述视频课《简单的极限速成》视频中给过“最高次数系数比”这样的秒杀法，利用此法我们可轻易得出水平渐近线。
我们再来看【铅直（垂直）渐近线】
还是对于f(x)是分子分母皆为多项式的分式而言，观察其分母，若使其分母等于0的值有a、b两个，即可得铅直（垂直）渐近线x=a和x=b，需要注意的是，若a也可使分子等于0，则a形成了可去间断点（关于间断点老刘将后续介绍归纳），该函数的铅直渐近线则只有x=b。
来看历年真题：
（2009）
由最高次数系数比得极限等于0，可得水平渐近线y=0，令分母为0，得铅直水平线x=1，一共两条渐近线。
（2017）
由最高次数系数比得极限等于1，可得水平渐近线y=1，令分母为0，得铅直水平线x=0和x=-4两条铅直渐近线，一共三条渐近线。
再来看这一题
最高次数系数比得水平渐近线y=1，令分母=0，得x=0和x=2，但是注意到x=0亦可使分子=0，故其铅直渐近线只有x=0
【老刘总结】
（1）水平渐近线是y=，铅直渐近线是x= ；
（2）遇上幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这样的基本初等函数函数，可由其典型图像观察出渐近线；
（3）遇上分子分母皆为多项式的分式这样的函数（考试中多是这样的），用老刘的方法秒杀之。
大家学会了吗？欢迎转发！
